Найдите s сечения шара радиуса 15 см, проведенного на расстоянии 12 см от центра

Для решения задачи найдем площадь сечения шара радиуса ( R = 15 \, \text{см} ), проведенного на расстоянии ( d = 12 \, \text{см} ) от центра шара. Это сечение представляет собой окружность. Мы будем использовать геометрические свойства шара и формулы из аналитической геометрии.

1. Геометрия задачи

Сечение, проведенное на расстоянии ( d ) от центра шара, представляет собой окружность. Радиус этой окружности можно найти с помощью теоремы Пифагора, так как сечение проходит через точки шара, которые лежат на плоскости, параллельной одной из координатных осей, и пересекает шар.

В задаче мы знаем:

• Расстояние ( d = 12 \, \text{см} ) от центра шара до плоскости сечения;
• Радиус шара ( R = 15 \, \text{см} ).

2. Радиус сечения

Рассмотрим вертикальное сечение шара, проходящее через его центр. В этом сечении получается окружность с радиусом ( R = 15 \, \text{см} ). Если провести плоскость на расстоянии ( d = 12 \, \text{см} ) от центра шара, то в этом сечении мы видим прямоугольный треугольник, где:

• Гипотенуза равна ( R ) (радиус шара);
• Один из катетов равен ( d ) (расстояние от центра до плоскости);
• Второй катет — это радиус окружности сечения, обозначим его ( r ).

По теореме Пифагора: [ R^2 = d^2 + r^2. ]

Подставим известные значения: [ 15^2 = 12^2 + r^2. ]

Выполним вычисления: [ 225 = 144 + r^2, ] [ r^2 = 225 - 144 = 81. ]

Найдем ( r ): [ r = \sqrt{81} = 9 \, \text{см}. ]

Таким образом, радиус окружности сечения равен ( r = 9 \, \text{см} ).

3. Площадь сечения

Площадь сечения ( S ) равна площади окружности радиуса ( r ). Формула площади окружности: [ S = \pi r^2. ]

Подставим значение ( r = 9 \, \text{см} ): [ S = \pi \cdot 9^2 = \pi \cdot 81. ]

Окончательный результат: [ S = 81\pi \, \text{см}^2. ]

4. Ответ

Площадь сечения шара радиуса ( 15 \, \text{см} ), проведенного на расстоянии ( 12 \, \text{см} ) от центра, равна: [ S = 81\pi \, \text{см}^2 \approx 254,47 \, \text{см}^2 \, (\text{если взять } \pi \approx 3{,}14). ]

Чтобы найти площадь сечения шара радиуса ( R = 15 ) см, проведенного на расстоянии ( d = 12 ) см от центра, мы можем использовать геометрические свойства шара.

Сечение шара, проведенное параллельно его основанию и на расстоянии ( d ) от центра, будет представлять собой круг. Радиус этого круга можно найти с помощью теоремы Пифагора.

1. Определим радиус сечения: В данном случае, радиус сечения ( r ) можно вычислить по формуле: [ r = \sqrt{R^2 - d^2} ] Подставим известные значения: [ R = 15 \text{ см}, \quad d = 12 \text{ см} ] [ r = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ см} ]

2. Найдем площадь круга (сечения): Площадь круга вычисляется по формуле: [ S = \pi r^2 ] Подставим найденный радиус: [ S = \pi \cdot 9^2 = \pi \cdot 81 ] Приблизительно, используя значение ( \pi \approx 3.14 ): [ S \approx 3.14 \cdot 81 \approx 254.34 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь сечения шара радиуса 15 см, проведенного на расстоянии 12 см от центра, составляет приблизительно ( 254.34 ) см².