Найдите промежутки монотоности функций y=2x3+3x2-12x-10

Чтобы определить промежутки монотонности функции ( y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 10 ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции: Производная функции ( y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 10 ) позволит определить, где функция возрастает, а где убывает. Производная будет: [ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 12x - 10) = 6x^2 + 6x - 12 ]

2. Найти критические точки: Критические точки находятся путем решения уравнения ( y' = 0 ). Для этого решим уравнение: [ 6x^2 + 6x - 12 = 0 ] Упростим, разделив на 6: [ x^2 + x - 2 = 0 ] Это квадратное уравнение можно решить через дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 ] Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два решения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2} ] Следовательно, [ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 ]

3. Определить знаки производной в интервалах: Разделим числовую прямую на интервалы, используя найденные критические точки ( x = -2 ) и ( x = 1 ). Эти интервалы: ( (-\infty, -2) ), ( (-2, 1) ), ( (1, \infty) ).

   • На интервале ( (-\infty, -2) ): Выберем тестовую точку, например, ( x = -3 ): [ y'(-3) = 6(-3)^2 + 6(-3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 > 0 ] Производная положительна, значит, функция возрастает.

   • На интервале ( (-2, 1) ): Выберем тестовую точку, например, ( x = 0 ): [ y'(0) = 6(0)^2 + 6(0) - 12 = -12 < 0 ] Производная отрицательна, значит, функция убывает.

   • На интервале ( (1, \infty) ): Выберем тестовую точку, например, ( x = 2 ): [ y'(2) = 6(2)^2 + 6(2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 > 0 ] Производная положительна, значит, функция возрастает.

4. Записать промежутки монотонности:

   • Функция возрастает на интервалах ( (-\infty, -2) ) и ( (1, \infty) ).
   • Функция убывает на интервале ( (-2, 1) ).

Таким образом, мы определили промежутки монотонности функции ( y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 10 ).

Для нахождения промежутков монотонности функции y=2x^3+3x^2-12x-10 необходимо найти производные первого и второго порядка данной функции.

1. Найдем первую производную: y'(x) = 6x^2 + 6x - 12

2. Найдем вторую производную: y''(x) = 12x + 6

Далее, найдем точки экстремума функции, приравняв первую производную к нулю: 6x^2 + 6x - 12 = 0 x^2 + x - 2 = 0 (x+2)(x-1) = 0

Из этого уравнения получаем две критические точки: x1 = -2, x2 = 1.

Теперь проанализируем знаки второй производной в окрестностях найденных критических точек:

1. Для x < -2: y''(x) < 0, следовательно, функция убывает.
2. Для -2 < x < 1: y''(x) > 0, следовательно, функция возрастает.
3. Для x > 1: y''(x) > 0, следовательно, функция возрастает.

Итак, промежутки монотонности функции y=2x^3+3x^2-12x-10:

1. Функция убывает на интервале (-∞, -2)
2. Функция возрастает на интервале (-2, 1)
3. Функция возрастает на интервале (1, +∞)