Найдите производную функции y=$1/x+8$$5x-2$

Производная функции y=$1/x+8$$5x-2$ равна y'=$8-x^{(}-2$)$5x-2$+1/x+8.

Чтобы найти производную функции $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$$5x-2$ ), воспользуемся правилом произведения, которое гласит, что производная произведения двух функций $u(x$ ) и $v(x$ ) равна:

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

В данном случае $u(x$ = \frac{1}{x} + 8 ) и $v(x$ = 5x - 2 ).

Найдем производные $u(x$ ) и $v(x$ ) отдельно.

1. Найдем производную $u(x$ ):

$u(x)=\frac{1}{x}+8$

Производная от $\frac{1}{x}$ равна $-\frac{1}{x^2}$, а производная от константы $8$ равна $0$:

$u^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}+0=-\frac{1}{x^2}$

1. Теперь найдем производную $v(x$ ):

$v(x)=5x-2$

Производная от $5x$ равна $5$, а производная от константы $-2$ равна $0$:

$v^{\prime }(x)=5$

Теперь подставим $u(x$ ), $u^{\prime }(x$ ), $v(x$ ) и $v^{\prime }(x$ ) в правило произведения:

$y^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

$y^{\prime }=(-\frac{1}{x^2})(5x-2)+(\frac{1}{x}+8)(5)$

Раскроем скобки:

$y^{\prime }=-\frac{1}{x^2}\cdot 5x+-\frac{1}{x^2}\cdot (-2)+(\frac{1}{x}+8)\cdot 5$

$y^{\prime }=-\frac{5x}{x^2}+\frac{2}{x^2}+\frac{5}{x}+40$

Упростим каждое слагаемое:

$y^{\prime }=-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}+\frac{5}{x}+40$

Видим, что $-\frac{5}{x}$ и $\frac{5}{x}$ взаимно уничтожаются:

$y^{\prime }=\frac{2}{x^2}+40$

Таким образом, производная функции $y$ равна:

$y^{\prime }=\frac{2}{x^2}+40$

Для нахождения производной функции y=$1/x+8$$5x-2$ необходимо воспользоваться правилом производной произведения функций.

Сначала умножим две скобки по правилу распределения: y = $5x-2$ / x + 8 * $5x-2$

После этого найдем производные каждого слагаемого по отдельности. Для первого слагаемого $5x-2$ / x воспользуемся правилом дифференцирования частного функций:

d/dx $(5x-2$ / x) = (x d/dx$5x-2$ - $5x-2$ d/dx$x$) / x^2 = $5-0-5+0$ / x^2 = 5 / x^2

Для второго слагаемого 8 * $5x-2$ применим правило дифференцирования произведения функций:

d/dx (8 $5x-2$) = 8 d/dx$5x-2$ = 8 * 5 = 40

Теперь сложим найденные производные слагаемых:

y' = 5 / x^2 + 40

Итак, производная функции y=$1/x+8$$5x-2$ равна y' = 5 / x^2 + 40.