Найдите производную функции y=(1/x+8)(5x-2)

Производная функции y=(1/x+8)(5x-2) равна y'=(8-x^(-2))(5x-2)+1/x+8.

Чтобы найти производную функции ( y = \left(\frac{1}{x} + 8\right)(5x - 2) ), воспользуемся правилом произведения, которое гласит, что производная произведения двух функций ( u(x) ) и ( v(x) ) равна:

[ (uv)' = u'v + uv' ]

В данном случае ( u(x) = \frac{1}{x} + 8 ) и ( v(x) = 5x - 2 ).

Найдем производные ( u(x) ) и ( v(x) ) отдельно.

1. Найдем производную ( u(x) ):

[ u(x) = \frac{1}{x} + 8 ]

Производная от (\frac{1}{x}) равна (-\frac{1}{x^2}), а производная от константы ( 8 ) равна ( 0 ):

[ u'(x) = -\frac{1}{x^2} + 0 = -\frac{1}{x^2} ]

1. Теперь найдем производную ( v(x) ):

[ v(x) = 5x - 2 ]

Производная от ( 5x ) равна ( 5 ), а производная от константы ( -2 ) равна ( 0 ):

[ v'(x) = 5 ]

Теперь подставим ( u(x) ), ( u'(x) ), ( v(x) ) и ( v'(x) ) в правило произведения:

[ y' = u'v + uv' ]

[ y' = \left(-\frac{1}{x^2}\right)(5x - 2) + \left(\frac{1}{x} + 8\right)(5) ]

Раскроем скобки:

[ y' = -\frac{1}{x^2} \cdot 5x + -\frac{1}{x^2} \cdot (-2) + \left(\frac{1}{x} + 8\right) \cdot 5 ]

[ y' = -\frac{5x}{x^2} + \frac{2}{x^2} + \frac{5}{x} + 40 ]

Упростим каждое слагаемое:

[ y' = -\frac{5}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{5}{x} + 40 ]

Видим, что (-\frac{5}{x}) и (\frac{5}{x}) взаимно уничтожаются:

[ y' = \frac{2}{x^2} + 40 ]

Таким образом, производная функции ( y ) равна:

[ y' = \frac{2}{x^2} + 40 ]

Для нахождения производной функции y=(1/x+8)(5x-2) необходимо воспользоваться правилом производной произведения функций.

Сначала умножим две скобки по правилу распределения: y = (5x - 2) / x + 8 * (5x - 2)

После этого найдем производные каждого слагаемого по отдельности. Для первого слагаемого (5x - 2) / x воспользуемся правилом дифференцирования частного функций:

d/dx ((5x - 2) / x) = (x d/dx(5x - 2) - (5x - 2) d/dx(x)) / x^2 = (5 - 0 - 5 + 0) / x^2 = 5 / x^2

Для второго слагаемого 8 * (5x - 2) применим правило дифференцирования произведения функций:

d/dx (8 (5x - 2)) = 8 d/dx(5x - 2) = 8 * 5 = 40

Теперь сложим найденные производные слагаемых:

y' = 5 / x^2 + 40

Итак, производная функции y=(1/x+8)(5x-2) равна y' = 5 / x^2 + 40.