Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=5-x^2, y=1

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=5-x^2 и y=1, необходимо найти точки их пересечения и вычислить интеграл от разности этих функций в пределах этих точек.

Сначала найдем точки пересечения линий y=5-x^2 и y=1: 5-x^2 = 1 -x^2 = -4 x^2 = 4 x = ±2

Точки пересечения будут (2,1) и (-2,1).

Теперь вычислим интеграл от разности функций в пределах от -2 до 2: S = ∫[from -2 to 2] (5-x^2 - 1) dx S = ∫[from -2 to 2] (4-x^2) dx S = [4x - (x^3)/3] [from -2 to 2] S = [8 - (8/3)] - [-8 - (-8/3)] S = 8 - 8/3 + 8 + 8/3 S = 16

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=5-x^2 и y=1, равна 16 квадратных единиц.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями ( y = 5 - x^2 ) и ( y = 1 ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения линий: Уравняем ( y = 5 - x^2 ) и ( y = 1 ):

   [ 5 - x^2 = 1 ]

   Решим это уравнение:

   [ x^2 = 5 - 1 ]

   [ x^2 = 4 ]

   [ x = \pm 2 ]

   Таким образом, точки пересечения линий находятся в ( x = -2 ) и ( x = 2 ).

2. Определить область интегрирования: Поскольку фигура ограничена по оси ( x ) от ( x = -2 ) до ( x = 2 ), и по оси ( y ) от ( y = 1 ) до ( y = 5 - x^2 ), мы можем использовать интеграл для нахождения площади.

3. Записать интеграл для нахождения площади: Площадь ( A ) между двумя кривыми ( y_1 = 5 - x^2 ) и ( y_2 = 1 ) на интервале от ( x = -2 ) до ( x = 2 ) можно найти с помощью следующего определенного интеграла:

   [ A = \int_{-2}^{2} [(5 - x^2) - 1] \, dx ]

   Упростим подынтегральное выражение:

   [ A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx ]

4. Вычислить интеграл: Разделим интеграл на два и вычислим каждую часть:

   [ A = \int{-2}^{2} 4 \, dx - \int{-2}^{2} x^2 \, dx ]

   Найдем каждую часть:

   [ \int{-2}^{2} 4 \, dx = 4 \int{-2}^{2} 1 \, dx = 4[x]_{-2}^{2} = 4[2 - (-2)] = 4 \cdot 4 = 16 ]

   Теперь вычислим второй интеграл:

   [ \int_{-2}^{2} x^2 \, dx ]

   Поскольку ( x^2 ) — чётная функция, интеграл от (-a) до (a) можно удвоить:

   [ \int{-2}^{2} x^2 \, dx = 2 \int{0}^{2} x^2 \, dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left( \frac{8}{3} - 0 \right) = \frac{16}{3} ]

5. Вычислить разность интегралов:

   [ A = 16 - \frac{16}{3} ]

   Приведем к общему знаменателю:

   [ A = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} ]

   Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = 5 - x^2 ) и ( y = 1 ), равна:

   [ A = \frac{32}{3} ]

   Это окончательный ответ.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной этими двумя линиями, необходимо найти точки их пересечения и провести интегрирование.