Найдите общий вид первообразных для функции: а) f(x)=4x³ -cos x; б) f(x)= -3; в) f(x)=cos² x+sin² x+...

Конечно, давайте найдем общий вид первообразных для каждой из этих функций.

а) ( f(x) = 4x^3 - \cos x )

Для нахождения первообразной, интегрируем каждую часть функции отдельно:

1. Интеграл от ( 4x^3 ) равен: [ \int 4x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 ]

2. Интеграл от ( -\cos x ) равен: [ \int -\cos x \, dx = -\sin x ]

Таким образом, общий вид первообразной ( F(x) ) для функции ( f(x) = 4x^3 - \cos x ) будет: [ F(x) = x^4 - \sin x + C ] где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования.

б) ( f(x) = -3 )

Здесь функция является константой, и интеграл от константы равен этой константе, умноженной на переменную:

[ \int -3 \, dx = -3x ]

Таким образом, общий вид первообразной ( F(x) ) для функции ( f(x) = -3 ) будет: [ F(x) = -3x + C ]

в) ( f(x) = \cos^2 x + \sin^2 x + \sin 3x )

Сначала упростим выражение ( \cos^2 x + \sin^2 x ) с помощью тригонометрической тождественности: [ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 ]

Теперь найдем первообразную для каждого члена:

1. Интеграл от 1 равен: [ \int 1 \, dx = x ]

2. Интеграл от ( \sin 3x ) с учетом правила замены (или прямого применения правила интегрирования тригонометрических функций): [ \int \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3} \cos 3x ] Здесь мы используем правило интегрирования для ( \sin(ax) ), где результат делится на ( a ).

Таким образом, общий вид первообразной ( F(x) ) для функции ( f(x) = \cos^2 x + \sin^2 x + \sin 3x ) будет: [ F(x) = x - \frac{1}{3}\cos 3x + C ]

В каждом случае ( C ) является произвольной постоянной интегрирования, которая отражает неопределенность в выборе первообразной.

а) Для функции f(x) = 4x³ - cos x первообразной будет функция F(x) = x^4 - sin x + C, где C - произвольная постоянная. б) Для функции f(x) = -3 первообразной будет функция F(x) = -3x + C, где C - произвольная постоянная. в) Для функции f(x) = cos² x + sin² x + sin 3x первообразной будет функция F(x) = x + sin 3x + C, где C - произвольная постоянная.

а) F(x) = x^4 - sin(x) + C б) F(x) = -3x + C в) F(x) = x + sin(3x) + C