Найдите облость значения функции f(x)=3 в степени х-5+2

Для нахождения области значений функции ( f(x) = 3^x - 5 + 2 ) начнем с упрощения выражения:

[ f(x) = 3^x - 3 ]

Теперь мы можем проанализировать функцию ( f(x) ).

1. Определение функции: Функция ( 3^x ) — это экспоненциальная функция, которая принимает положительные значения для всех ( x ) и стремится к нулю, когда ( x ) стремится к минус бесконечности, а также стремится к бесконечности, когда ( x ) стремится к бесконечности.

2. Изменение функции: Поскольку мы вычитаем 3 из ( 3^x ), это сдвигает график функции вниз на 3 единицы.

3. Область значений функции ( 3^x ): Функция ( 3^x ) принимает все положительные значения, т.е. ( (0, +\infty) ).

4. Область значений функции ( f(x) ): Теперь, когда мы вычитаем 3, мы можем определить область значений функции ( f(x) ): [ f(x) = 3^x - 3 \quad \text{для } 3^x \in (0, +\infty) ] Это означает, что ( f(x) ) будет принимать значения: [ (0 - 3, +\infty - 3) = (-3, +\infty) ]

Таким образом, область значений функции ( f(x) = 3^x - 3 ) — это ( (-3, +\infty) ).

Вывод: Область значений функции ( f(x) = 3^x - 5 + 2 ) равна ( (-3, +\infty) ).

Функция ( f(x) = 3^x - 5 + 2 ) может быть переписана как ( f(x) = 3^x - 3 ). Поскольку ( 3^x ) принимает все положительные значения, то ( f(x) ) будет принимать все значения, начиная с ( -3 ) (при ( x \to -\infty )) и до ( +\infty ) (при ( x \to +\infty )).

Таким образом, область значений функции: ( (-3, +\infty) ).

Чтобы найти область значений функции ( f(x) = 3^{x-5} + 2 ), давайте разберем её шаг за шагом.

1. Разберем структуру функции:

Функция ( f(x) = 3^{x-5} + 2 ) состоит из двух частей:

• Основная экспоненциальная функция ( 3^{x-5} ),
• Сдвиг вверх на 2 единицы (добавление ( +2 )).

Свойства экспоненциальной функции ( 3^{x-5} ):

• ( 3^{x-5} ) — это степень числа 3.
• Экспоненциальные функции вида ( a^x ), где ( a > 0 ), всегда положительны, то есть ( 3^{x-5} > 0 ) для любого значения ( x ).
• При ( x \to +\infty ), ( 3^{x-5} \to +\infty ).
• При ( x \to -\infty ), ( 3^{x-5} \to 0^+ ) (то есть стремится к нулю, но остаётся положительным).

2. Учёт вертикального сдвига:

Теперь учтём сдвиг функции вверх на 2 единицы. Вся функция ( f(x) ) становится: [ f(x) = 3^{x-5} + 2. ]

• Минимальное значение ( 3^{x-5} ) равно ( 0^+ ) (когда ( x \to -\infty )).
• При этом ( f(x) \to 0^+ + 2 = 2 ) (то есть стремится к 2, но остаётся больше 2).
• Максимальное значение ( 3^{x-5} \to +\infty ) (когда ( x \to +\infty )), а значит ( f(x) \to +\infty ).

3. Область значений:

Учитывая вышеизложенное, функция ( f(x) = 3^{x-5} + 2 ) принимает значения на интервале: [ (2, +\infty). ]

Это означает, что ( f(x) > 2 ) для всех ( x ), и нет значения ( x ), при котором ( f(x) \leq 2 ).

4. Ответ:

Область значений функции ( f(x) = 3^{x-5} + 2 ): [ (2, +\infty). ]