Найдите область определения функции y=3sin4x

Область определения функции ( y = 3 \sin(4x) ) — это все действительные числа, то есть ( x \in \mathbb{R} ).

Определение области определения функции подразумевает нахождение всех значений аргумента ( x ), при которых функция ( y = 3\sin(4x) ) имеет смысл, то есть определена.

Функция ( y = 3\sin(4x) ) строится на основе тригонометрической функции синуса ( \sin(4x) ), а синус, как элементарная тригонометрическая функция, определён для всех действительных чисел. То есть, аргумент функции ( 4x ) может принимать любые значения ( \mathbb{R} ) (все действительные числа).

Так как коэффициенты ( 3 ) и ( 4 ) — это просто множители и не влияют на область определения (они масштабируют функцию и изменяют её частоту, но не накладывают ограничений), итоговая функция ( y = 3\sin(4x) ) также определена на всём множестве действительных чисел.

Ответ:

Область определения функции ( y = 3\sin(4x) ) — это все действительные числа, то есть: [ D(y) = \mathbb{R}. ]

Иными словами, функция определена для всех значений ( x ).

Чтобы найти область определения функции ( y = 3 \sin(4x) ), необходимо понять, какие значения ( x ) могут быть подставлены в данное выражение, чтобы функция была определена.

Функция синуса, ( \sin(x) ), является периодической и определена для всех действительных чисел. Это означает, что для любого значения ( x ) аргумент функции ( \sin(4x) ) также будет определён.

В данном случае функция ( y = 3 \sin(4x) ) представляет собой масштабирование стандартной функции синуса на 3, что не влияет на область определения. Таким образом, функция будет определена для всех ( x ).

Формально:

1. Синус: Функция ( \sin(t) ) (для любого ( t )) определена для всех ( t \in \mathbb{R} ).
2. Аргумент функции: В нашем случае аргумент ( t = 4x ). Поскольку ( 4x ) также может принимать любые действительные значения (при любом ( x \in \mathbb{R} )), то синус будет определён для всех ( x ).
3. Масштабирование: Умножение на 3 не меняет область определения.

Вывод:

Таким образом, область определения функции ( y = 3 \sin(4x) ) — это все действительные числа. В математической записи это можно выразить как:

[ D(y) = \mathbb{R} ]

или, используя интервальную нотацию:

[ D(y) = (-\infty, +\infty) ]

Следовательно, вы можете подставлять любое значение ( x ), и функция будет корректно определена для всех них.