Найдите наименьшее значение функции у=18х2-х3+19 на отрезве [-7;10]

Чтобы найти наименьшее значение функции ( y = 18x^2 - x^3 + 19 ) на отрезке ([-7; 10]), следует выполнить несколько шагов:

1. Найти критические точки функции на интервале ([-7; 10]): Для этого нужно найти производную функции и определить точки, в которых производная равна нулю или не существует.

   Функция ( y = 18x^2 - x^3 + 19 ).

   Найдем первую производную: [ y' = \frac{d}{dx} (18x^2 - x^3 + 19) = 36x - 3x^2. ]

   Приравняем производную к нулю: [ 36x - 3x^2 = 0. ]

   Вынесем общий множитель за скобки: [ 3x(12 - x) = 0. ]

   Получаем два уравнения: [ 3x = 0 \implies x = 0, ] [ 12 - x = 0 \implies x = 12. ]

   Итак, у нас есть две критические точки: ( x = 0 ) и ( x = 12 ).

2. Проверка критических точек и граничных значений: Нам нужно также проверить значение функции на концах отрезка: ( x = -7 ) и ( x = 10 ).

   Подставим эти значения в исходную функцию:

   • Для ( x = -7 ): [ y = 18(-7)^2 - (-7)^3 + 19 = 18 \cdot 49 + 343 + 19 = 882 + 343 + 19 = 1244. ]

   • Для ( x = 10 ): [ y = 18(10)^2 - (10)^3 + 19 = 18 \cdot 100 - 1000 + 19 = 1800 - 1000 + 19 = 819. ]

   • Для ( x = 0 ): [ y = 18(0)^2 - (0)^3 + 19 = 19. ]

   • Для ( x = 12 ) (но это значение выходит за пределы отрезка ([-7; 10]), поэтому его не учитываем).

3. Сравнение значений функции в найденных точках:

   • ( y(-7) = 1244 )
   • ( y(10) = 819 )
   • ( y(0) = 19 )

   Наименьшее значение функции на отрезке ([-7; 10]) равно ( y = 19 ) и достигается при ( x = 0 ).

Таким образом, наименьшее значение функции ( y = 18x^2 - x^3 + 19 ) на отрезке ([-7; 10]) равно 19.

Для нахождения наименьшего значения функции y=18x^2-x^3+19 на отрезке [-7;10] необходимо найти экстремумы функции в данном интервале. Для этого нужно найти производную функции и приравнять её к нулю.

y=18x^2-x^3+19 y'=36x-3x^2

Теперь найдем точки экстремума: 36x-3x^2=0 3x(12-x)=0 x=0 или x=12

Учитывая, что интервал [-7;10], остается только x=0. Подставляем найденное значение обратно в исходную функцию: y=18*0^2-0^3+19 y=19

Таким образом, наименьшее значение функции y=18x^2-x^3+19 на отрезке [-7;10] равно 19.