Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f(x) = x²-4x+3 в промежутке {0,3}

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции f(x) = x² - 4x + 3 в промежутке [0,3] необходимо найти экстремумы функции на этом промежутке.

Сначала найдем производную функции f(x) = x² - 4x + 3: f'(x) = 2x - 4

Затем найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 2x - 4 = 0 2x = 4 x = 2

Теперь найдем значение функции в точках 0, 2 и 3: f(0) = 0² - 40 + 3 = 3 f(2) = 2² - 42 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 f(3) = 3² - 4*3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) в промежутке [0,3] равно -1, а наибольшее значение равно 3.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции ( f(x) = x^2 - 4x + 3 ) на промежутке ([0, 3]), нужно исследовать поведение функции на этом интервале. Для этого нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции ( f(x) ): [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 3) = 2x - 4 ]

2. Найти критические точки. Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение: [ 2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2 ]

3. Проверить критическую точку и концы промежутка. Для этого вычислим значение функции в этих точках:

   • В точке ( x = 0 ): [ f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3 ]
   • В точке ( x = 3 ): [ f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0 ]
   • В критической точке ( x = 2 ): [ f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 ]

4. Сравнить значения функции в этих точках:

   • ( f(0) = 3 )
   • ( f(3) = 0 )
   • ( f(2) = -1 )

Наименьшее значение функции на промежутке ([0, 3]) равно (-1), а наибольшее значение равно (3).

Таким образом, наименьшее значение функции ( f(x) = x^2 - 4x + 3 ) на промежутке ([0, 3]) равно (-1) и достигается в точке ( x = 2 ). Наибольшее значение функции на этом же промежутке равно ( 3 ) и достигается в точке ( x = 0 ).