Найдите наименьшее число,которое при делении на 5,на 7 и на 11 дает в остатке 2
Найдите наименьшее число,которое при делении на 5,на 7 и на 11 дает в остатке 2
Наименьшее число, удовлетворяющее условию, равно 52.
Чтобы найти наименьшее число, которое при делении на 5, 7 и 11 даёт остаток 2, мы можем использовать метод систем линейных сравнений, известный как метод сравнений или китайская теорема об остатках.
Дано следующее:
Эти сравнения означают, что число ( x ) при делении на 5, 7 и 11 даёт остаток 2.
Согласно китайской теореме об остатках, если модули попарно взаимно просты (в данном случае 5, 7 и 11), то существует единственное решение для ( x ) по модулю произведения этих модулей, то есть ( 5 \times 7 \times 11 = 385 ).
Так как все три сравнения дают одинаковый остаток, мы можем объединить их в одно: [ x \equiv 2 \pmod{385} ]
Следовательно, наименьшее положительное число, удовлетворяющее этим условиям, это ( x = 2 ).
Таким образом, наименьшее число, которое при делении на 5, 7 и 11 даёт остаток 2, равно 2.
Для нахождения наименьшего числа, которое при делении на 5, 7 и 11 дает в остатке 2, нужно воспользоваться китайской теоремой об остатках.
Пусть искомое число обозначается как x. Тогда можно записать систему уравнений: x ≡ 2 (mod 5) x ≡ 2 (mod 7) x ≡ 2 (mod 11)
Сначала найдем x по модулю 5. Поскольку 7 и 11 взаимно просты, то можно записать: 7 11 ≡ 1 (mod 5) Тогда 7 11 x ≡ x ≡ 2 7 11 ≡ 2 77 ≡ 2 * 2 ≡ 4 (mod 5)
Аналогично находим x по модулям 7 и 11: 5 11 ≡ 1 (mod 7) 5 11 x ≡ x ≡ 2 5 11 ≡ 2 55 ≡ 2 * 6 ≡ 12 ≡ 5 (mod 7)
5 7 ≡ 1 (mod 11) 5 7 x ≡ x ≡ 2 5 7 ≡ 2 35 ≡ 2 * 2 ≡ 4 (mod 11)
Теперь объединим полученные результаты: x ≡ 4 (mod 5) x ≡ 5 (mod 7) x ≡ 4 (mod 11)
Подходящее число можно найти методом перебора. После проверки чисел 29, 64, 99 и т.д., можно увидеть, что наименьшее число, удовлетворяющее всем условиям, равно 344.
Итак, наименьшее число, которое при делении на 5, 7 и 11 дает в остатке 2, равно 344.
