Найдите интервалы монотонности функций y=2x^2-4x+5

Чтобы найти интервалы монотонности функции ( y = 2x^2 - 4x + 5 ), необходимо выполнить несколько шагов, включая нахождение производной функции и анализ её знака.

Шаг 1: Найти производную функции

Функция ( y = 2x^2 - 4x + 5 ) является квадратичной. Найдём её первую производную, которая поможет определить интервалы возрастания и убывания функции.

[ y' = \frac{d}{dx}(2x^2 - 4x + 5) ]

Применяя правило дифференцирования, получаем:

[ y' = 4x - 4 ]

Шаг 2: Найти критические точки

Критические точки находятся из условия, что производная равна нулю или не существует. В данном случае, производная существует для всех ( x ), поэтому решаем уравнение:

[ 4x - 4 = 0 ]

Решая это уравнение, получаем:

[ 4x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 1 ]

Шаг 3: Определить знаки производной

Теперь, чтобы определить интервалы монотонности, нужно исследовать знак первой производной на промежутках, разделённых критической точкой ( x = 1 ).

• Для ( x < 1 ): выберем тестовую точку, например, ( x = 0 ). [ y'(0) = 4(0) - 4 = -4 ] Поскольку ( y'(0) < 0 ), функция убывает на интервале ( (-\infty, 1) ).

• Для ( x > 1 ): выберем тестовую точку, например, ( x = 2 ). [ y'(2) = 4(2) - 4 = 4 ] Поскольку ( y'(2) > 0 ), функция возрастает на интервале ( (1, +\infty) ).

Шаг 4: Вывод

На основании анализа знаков производной можно сделать вывод о монотонности функции:

• Функция ( y = 2x^2 - 4x + 5 ) убывает на интервале ( (-\infty, 1) ).
• Функция ( y = 2x^2 - 4x + 5 ) возрастает на интервале ( (1, +\infty) ).

Таким образом, критическая точка ( x = 1 ) является точкой минимума, поскольку в этой точке функция переходит от убывания к возрастанию.

Для нахождения интервалов монотонности функции y=2x^2-4x+5 необходимо проанализировать знак производной функции. Для этого найдем производную функции y=2x^2-4x+5:

y' = 4x - 4

Для нахождения интервалов монотонности необходимо найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Решим уравнение 4x - 4 = 0:

4x - 4 = 0 4x = 4 x = 1

Таким образом, точка x=1 является критической точкой. Теперь проведем тестирование знаков производной на интервалах (-бесконечность;1) и (1;+бесконечность), выбирая произвольные значения x из каждого интервала:

1. Для x=0: y'(0) = 4*0 - 4 = -4, что означает, что функция убывает на интервале (-бесконечность;1).
2. Для x=2: y'(2) = 4*2 - 4 = 4, что означает, что функция возрастает на интервале (1;+бесконечность).

Таким образом, функция y=2x^2-4x+5 убывает на интервале (-бесконечность;1) и возрастает на интервале (1;+бесконечность).

Функция y=2x^2-4x+5 возрастает на интервалах (-бесконечность, 1/2) и (1, +бесконечность), и убывает на интервале (1/2, 1).