На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей, сколькими способами можно составить из них 4...

Для того чтобы найти количество способов составить 4 пары для танцев, мы можем воспользоваться формулой комбинаторики.

Сначала найдем количество способов выбрать первую пару. У нас есть 12 девушек, поэтому для первой девушки есть 15 возможных партнеров (15 юношей). После того как первую пару выбрали, у нас остается 11 девушек и 14 юношей.

Для второй пары у нас уже будет на одного человека меньше на выбор, т.е. 11 девушек и 14 юношей. Для третьей пары - 10 девушек и 13 юношей, и для четвертой пары - 9 девушек и 12 юношей.

Таким образом, общее количество способов составить 4 пары для танцев будет равно: 15 14 13 * 12 = 32 760.

Итак, можно составить 4 пары для танцев 32 760 способами.

Для ответа на вопрос о том, сколькими способами можно составить 4 пары для танцев из 12 девушек и 15 юношей, мы можем использовать комбинаторные методы.

1. Выбор 4 юношей из 15: Сначала нужно выбрать, кто из юношей будет танцевать. Это можно сделать ( C(15, 4) ) способами, где ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ) — биномиальный коэффициент, который показывает число способов выбрать ( k ) элементов из ( n ) элементов. Подставляя значения, получаем: [ C(15, 4) = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365. ]

2. Выбор 4 девушек из 12: Аналогично, выбираем 4 девушек из 12. Это можно сделать ( C(12, 4) ) способами: [ C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495. ]

3. Соединение девушек и юношей в пары: После того как выбраны 4 девушки и 4 юноши, их нужно соединить в пары. Количество способов, которыми можно соединить эти две группы, равно количеству перестановок 4 элементов, то есть ( 4! ) (4 факториал), потому что каждый юноша может танцевать с любой из девушек. Таким образом: [ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24. ]

4. Общее количество способов: Чтобы найти общее количество способов составить 4 пары, перемножаем полученные значения: [ 1365 \times 495 \times 24 = 16005600. ]

Таким образом, составить 4 пары для танцев из 12 девушек и 15 юношей можно 16,005,600 различными способами.