(log2 4+log2 √10) / (log2 20+3log2 2) = ?
(log2 4+log2 √10) / (log2 20+3log2 2) = ?
Ответ: 1/2
Для решения данного выражения, сначала преобразуем логарифмы с одинаковым основанием в один логарифм, используя свойства логарифмов:
(log2 4 + log2 √10) = log2 (4 √10) (log2 20 + 3log2 2) = log2 (20 2^3)
Далее упростим выражения в скобках:
4 √10 = 4 √(10) = 4 √(2 5) = 4 2 √(5) = 8√(5) 20 2^3 = 20 8 = 160
Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:
(log2 4 + log2 √10) / (log2 20 + 3log2 2) = log2 (8√5) / log2 160 = log2 (8√5) - log2 160 = log2 (8√5 / 160) = log2 (√5 / 20) = log2 √5 - log2 20 = 0.5 - log2 20 ≈ 0.5 - 4.322 ≈ -3.822
Итак, значение выражения (log2 4 + log2 √10) / (log2 20 + 3log2 2) приблизительно равно -3.822.
Давайте разберем данное выражение:
[ \frac{\log_2 4 + \log_2 \sqrt{10}}{\log_2 20 + 3\log_2 2} ]
Вычислим числитель:
(\log_2 4): Поскольку (4 = 2^2), то (\log_2 4 = 2).
(\log_2 \sqrt{10}): Поскольку (\sqrt{10} = 10^{1/2}), то (\log_2 \sqrt{10} = \frac{1}{2} \log_2 10).
Объединим их:
[ \log_2 4 + \log_2 \sqrt{10} = 2 + \frac{1}{2} \log_2 10 ]
Вычислим знаменатель:
(\log_2 20): Поскольку (20 = 2^2 \cdot 5), то (\log_2 20 = \log_2 (2^2 \cdot 5) = 2 + \log_2 5).
(3\log_2 2): Поскольку (\log_2 2 = 1), то (3\log_2 2 = 3 \times 1 = 3).
Объединим их:
[ \log_2 20 + 3\log_2 2 = (2 + \log_2 5) + 3 = 5 + \log_2 5 ]
Подставим числитель и знаменатель в основное выражение:
[ \frac{2 + \frac{1}{2} \log_2 10}{5 + \log_2 5} ]
Упростим выражение:
Подставим и упростим числитель:
[ 2 + \frac{1}{2} (1 + \log_2 5) = 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_2 5 = 2.5 + \frac{1}{2} \log_2 5 ]
Теперь у нас есть:
[ \frac{2.5 + \frac{1}{2} \log_2 5}{5 + \log_2 5} ]
Упростим полностью выражение:
Поскольку точное значение (\log_2 5) в данном контексте не упрощается до целого числа, дальнейшее упрощение будет затруднительным без численного значения, но выражение можно оценить численно или использовать в более сложных теоретических задачах.
Таким образом, данное выражение не упрощается до простого целого числа или простой дроби без дополнительной информации или численного приближения (\log_2 5).
