Квадратный корень из 3x-1-квадратный корень из x+2=1

Решим уравнение:

$\sqrt{3x-1}-\sqrt{x+2}=1$

Чтобы избавиться от квадратных корней, сначала выразим один из них:

$\sqrt{3x-1}=\sqrt{x+2}+1$

Теперь возведём обе стороны в квадрат, чтобы убрать один из корней:

$(\sqrt{3x-1}{)}^2=(\sqrt{x+2}+1{)}^2$

Это даст нам:

$3x-1=(x+2)+2\sqrt{x+2}+1$

Упрощаем правую часть:

$3x-1=x+3+2\sqrt{x+2}$

Переносим все члены без корня влево:

$3x-x-1-3=2\sqrt{x+2}$

Упрощаем:

$2x-4=2\sqrt{x+2}$

Делим обе стороны на 2:

$x-2=\sqrt{x+2}$

Возводим обе стороны в квадрат ещё раз:

$(x-2{)}^2=(\sqrt{x+2}{)}^2$

Это приводит к:

$x^2-4x+4=x+2$

Переносим всё на одну сторону:

$x^2-4x+4-x-2=0$

Упрощаем:

$x^2-5x+2=0$

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта $D$ для уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ такова:

$D=b^2-4ac$

В нашем случае $a=1$, $b=-5$, $c=2$. Подставляем эти значения:

$D=(-5{)}^2-4\times 1\times 2=25-8=17$

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

Подставляем наши значения:

$x_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{17}}{2}$

Таким образом, у нас два потенциальных корня:

$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$

Однако, поскольку мы изначально возводили в квадрат, нужно проверить, оба ли корня подходят исходному уравнению. Проверим оба:

1. Для $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$, подставляем обратно в исходное уравнение и проверяем, выполняется ли оно.
2. Для $x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$, аналогично.

Проверка покажет, что только один из корней может удовлетворять изначальному уравнению, т.к. второй может привести к неверному равенству из-за возведения в квадрат. В данном случае, проверка показывает, что только $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$ является корректным решением уравнения.

Для решения данного уравнения с квадратными корнями необходимо возвести обе части уравнения в квадрат. Получим:

$\surd (3x-1$ - √$x+2$)^2 = 1^2 $\surd (3x-1$ - √$x+2$)$\surd (3x-1$ - √$x+2$) = 1 3x - 1 - 2√$(3x-1$$x+2$) + x + 2 = 1 4x + 1 - 2√$3x^2+5x-2$ = 1 4x + 1 - 2√$(3x-1$$x+2$) = 1 4x + 1 - 1 = 2√$(3x-1$$x+2$) 4x = 2√$(3x-1$$x+2$) 2x = √$(3x-1$$x+2$)^2 4x^2 = $3x-1$$x+2$ 4x^2 = 3x^2 + 5x - 2 4x^2 - 3x^2 - 5x + 2 = 0 x^2 - 5x + 2 = 0

Полученное квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта или других методов решения квадратных уравнений.