Квадратный корень из 3x-1-квадратный корень из x+2=1

Решим уравнение:

[ \sqrt{3x - 1} - \sqrt{x + 2} = 1 ]

Чтобы избавиться от квадратных корней, сначала выразим один из них:

[ \sqrt{3x - 1} = \sqrt{x + 2} + 1 ]

Теперь возведём обе стороны в квадрат, чтобы убрать один из корней:

[ (\sqrt{3x - 1})^2 = (\sqrt{x + 2} + 1)^2 ]

Это даст нам:

[ 3x - 1 = (x + 2) + 2\sqrt{x + 2} + 1 ]

Упрощаем правую часть:

[ 3x - 1 = x + 3 + 2\sqrt{x + 2} ]

Переносим все члены без корня влево:

[ 3x - x - 1 - 3 = 2\sqrt{x + 2} ]

Упрощаем:

[ 2x - 4 = 2\sqrt{x + 2} ]

Делим обе стороны на 2:

[ x - 2 = \sqrt{x + 2} ]

Возводим обе стороны в квадрат ещё раз:

[ (x - 2)^2 = (\sqrt{x + 2})^2 ]

Это приводит к:

[ x^2 - 4x + 4 = x + 2 ]

Переносим всё на одну сторону:

[ x^2 - 4x + 4 - x - 2 = 0 ]

Упрощаем:

[ x^2 - 5x + 2 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта (D) для уравнения (ax^2 + bx + c = 0) такова:

[ D = b^2 - 4ac ]

В нашем случае (a = 1), (b = -5), (c = 2). Подставляем эти значения:

[ D = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 25 - 8 = 17 ]

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставляем наши значения:

[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2} ]

Таким образом, у нас два потенциальных корня:

[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{2} ]

Однако, поскольку мы изначально возводили в квадрат, нужно проверить, оба ли корня подходят исходному уравнению. Проверим оба:

1. Для (x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}), подставляем обратно в исходное уравнение и проверяем, выполняется ли оно.
2. Для (x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{2}), аналогично.

Проверка покажет, что только один из корней может удовлетворять изначальному уравнению, т.к. второй может привести к неверному равенству из-за возведения в квадрат. В данном случае, проверка показывает, что только (x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}) является корректным решением уравнения.

Для решения данного уравнения с квадратными корнями необходимо возвести обе части уравнения в квадрат. Получим:

(√(3x - 1) - √(x + 2))^2 = 1^2 (√(3x - 1) - √(x + 2))(√(3x - 1) - √(x + 2)) = 1 3x - 1 - 2√((3x - 1)(x + 2)) + x + 2 = 1 4x + 1 - 2√(3x^2 + 5x - 2) = 1 4x + 1 - 2√((3x - 1)(x + 2)) = 1 4x + 1 - 1 = 2√((3x - 1)(x + 2)) 4x = 2√((3x - 1)(x + 2)) 2x = √((3x - 1)(x + 2))^2 4x^2 = (3x - 1)(x + 2) 4x^2 = 3x^2 + 5x - 2 4x^2 - 3x^2 - 5x + 2 = 0 x^2 - 5x + 2 = 0

Полученное квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта или других методов решения квадратных уравнений.