Корень шестой степени из 3 в седьмой степени* 4 в пятой степени * на корень в шестой степени из 3 в...

Корень шестой степени из ( 3^7 ) можно записать как ( 3^{7/6} ), а корень шестой степени из ( 3^5 ) как ( 3^{5/6} ).

Таким образом, выражение можно переписать:

[ 3^{7/6} \cdot 4^5 \cdot 3^{5/6} \cdot 4 = 3^{(7/6 + 5/6)} \cdot 4^5 \cdot 4 = 3^{12/6} \cdot 4^6 = 3^2 \cdot 4^6 = 9 \cdot 4096 = 36864 ]

Ответ: ( 36864 ).

Рассмотрим выражение:

[ \sqrt[6]{3^7} \cdot 4^5 \cdot \sqrt[6]{3^5} \cdot 4 ]

Для упрощения этого выражения, разберем каждый множитель и применим свойства корней и степеней.

1. Преобразование корней

Вспомним, что корень (n)-й степени можно выразить через степень. То есть:

[ \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}. ]

Таким образом, первый множитель ( \sqrt[6]{3^7} ) можно записать как:

[ \sqrt[6]{3^7} = 3^{7/6}. ]

Второй множитель ( 4^5 ) остается без изменений.

Третий множитель ( \sqrt[6]{3^5} ) преобразуем аналогично:

[ \sqrt[6]{3^5} = 3^{5/6}. ]

Четвертый множитель (4) можно записать как (4^1).

2. Перегруппировка множителей

Теперь перепишем всё выражение с использованием степеней:

[ (3^{7/6}) \cdot (4^5) \cdot (3^{5/6}) \cdot (4^1). ]

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями (3) и (4) отдельно:

[ (3^{7/6} \cdot 3^{5/6}) \cdot (4^5 \cdot 4^1). ]

3. Свойство умножения степеней

При умножении степеней с одинаковым основанием степени складываются:

[ a^m \cdot a^n = a^{m+n}. ]

Применим это свойство:

Для основания (3):

[ 3^{7/6} \cdot 3^{5/6} = 3^{(7/6 + 5/6)} = 3^{12/6} = 3^2. ]

Для основания (4):

[ 4^5 \cdot 4^1 = 4^{5+1} = 4^6. ]

4. Итог

Теперь наше выражение упрощается до:

[ 3^2 \cdot 4^6. ]

Вычислим значения:

[ 3^2 = 9, \quad 4^6 = 4096. ]

Следовательно:

[ 3^2 \cdot 4^6 = 9 \cdot 4096 = 36864. ]

Ответ:

Упрощенное значение выражения равно:

[ 36864. ]

Чтобы упростить выражение ( \sqrt[6]{3^7} \cdot 4^5 \cdot \sqrt[6]{3^5} \cdot 4 ), начнем с того, что мы можем отдельно упростить каждую часть.

1. Упрощение корней:
   • ( \sqrt[6]{3^7} = 3^{7/6} )
   • ( \sqrt[6]{3^5} = 3^{5/6} )

Теперь можем переписать выражение с этими преобразованиями:

[ 3^{7/6} \cdot 4^5 \cdot 3^{5/6} \cdot 4 ]

1. Соберем степени 3:
   • ( 3^{7/6} \cdot 3^{5/6} = 3^{(7/6 + 5/6)} = 3^{12/6} = 3^2 )

Теперь у нас есть:

[ 3^2 \cdot 4^5 \cdot 4 ]

1. Упрощение 4:
   • ( 4 = 4^1 )

Следовательно, мы можем объединить степени 4:

[ 4^5 \cdot 4^1 = 4^{5+1} = 4^6 ]

Сейчас наше выражение выглядит так:

[ 3^2 \cdot 4^6 ]

1. Подсчитаем:
   • ( 3^2 = 9 )
   • ( 4^6 = 4096 ) (так как ( 4^6 = (2^2)^6 = 2^{12} = 4096 ))

Теперь мы можем записать окончательный результат:

[ 9 \cdot 4096 = 36864 ]

Таким образом, значение исходного выражения:

[ \sqrt[6]{3^7} \cdot 4^5 \cdot \sqrt[6]{3^5} \cdot 4 = 36864 ]