Как построить график функции y=(3-x)(x+1)?

Для того чтобы построить график функции ( y = (3-x)(x+1) ), нужно выполнить несколько шагов. Вот подробный алгоритм:

Шаг 1. Раскрой скобки и упростите выражение

Функцию ( y = (3-x)(x+1) ) можно упростить, раскрыв скобки: [ y = (3-x)(x+1) = 3x + 3 - x^2 - x = -x^2 + 2x + 3. ] Теперь функция имеет вид: [ y = -x^2 + 2x + 3. ] Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

Шаг 2. Определите основные характеристики параболы

Функция ( y = -x^2 + 2x + 3 ) соответствует общему виду квадратичной функции ( y = ax^2 + bx + c ), где:

• ( a = -1 ) (коэффициент при ( x^2 )),
• ( b = 2 ) (коэффициент при ( x )),
• ( c = 3 ) (свободный член).

Особенности:

1. Ветви параболы направлены вниз, так как ( a = -1 < 0 ).
2. Вершина параболы — это максимальная точка, так как ветви направлены вниз.

Шаг 3. Найдите координаты вершины параболы

Координаты вершины ( (x_v, y_v) ) для квадратичной функции ( y = ax^2 + bx + c ) находятся по формулам: [ x_v = -\frac{b}{2a}, \quad y_v = f(x_v). ] Подставим значения ( a = -1 ) и ( b = 2 ): [ x_v = -\frac{2}{2(-1)} = -\frac{2}{-2} = 1. ] Теперь найдем ( y_v ), подставляя ( x_v = 1 ) в уравнение ( y = -x^2 + 2x + 3 ): [ y_v = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4. ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (1, 4) ).

Шаг 4. Найдите корни функции (нуль функции)

Корни функции — это значения ( x ), при которых ( y = 0 ). Решим уравнение: [ -y^2 + 2x + 3

Чтобы построить график функции ( y = (3 - x)(x + 1) ), следует выполнить несколько шагов, включая преобразование функции, нахождение ключевых характеристик и построение графика.

Шаг 1: Упростим уравнение

Сначала упростим функцию:

[ y = (3 - x)(x + 1) ]

Распределим множители:

[ y = 3x + 3 - x^2 - x ]

Упорядочим по степеням ( x ):

[ y = -x^2 + 2x + 3 ]

Теперь мы имеем квадратичную функцию в стандартной форме ( y = ax^2 + bx + c ), где ( a = -1 ), ( b = 2 ), ( c = 3 ).

Шаг 2: Найдем вершину параболы

Для квадратичной функции ( y = ax^2 + bx + c ) координаты вершины можно найти по формуле:

[ x_v = -\frac{b}{2a} ]

Подставим ( a ) и ( b ):

[ x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 ]

Теперь подставим ( x_v ) в уравнение функции, чтобы найти координату ( y ):

[ y_v = -1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 ]

Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (1, 4) ).

Шаг 3: Найдем корни функции

Чтобы найти корни функции ( y = 0 ), решим уравнение:

[ -x^2 + 2x + 3 = 0 ]

Умножим обе стороны на -1:

[ x^2 - 2x - 3 = 0 ]

Теперь можно использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Где ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = -3 ):

[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} ] [ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} ] [ x = \frac{2 \pm 4}{2} ]

Таким образом, корни:

1. ( x_1 = \frac{6}{2} = 3 )
2. ( x_2 = \frac{-2}{2} = -1 )

Шаг 4: Построение графика

Теперь у нас есть вся информация для построения графика:

1. Вершина: ( (1, 4) )
2. Корни: ( (-1, 0) ) и ( (3, 0) )
3. Парабола открывается вниз (так как ( a < 0 )).

Шаг 5: Дополнительные точки

Для более точного графика можно найти еще несколько значений функции. Например:

• ( x = 0 ): [ y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 3 = 3 \quad (0, 3) ]

• ( x = 2 ): [ y = -2^2 + 2 \cdot 2 + 3 = -4 + 4 + 3 = 3 \quad (2, 3) ]

• ( x = -2 ): [ y = -(-2)^2 + 2 \cdot (-2) + 3 = -4 - 4 + 3 = -5 \quad (-2, -5) ]

Шаг 6: Нанесение точек на график

Теперь мы можем нанести все найденные точки на координатную плоскость:

• Вершина: ( (1, 4) )
• Корни: ( (-1, 0) ) и ( (3, 0) )
• Дополнительные точки: ( (0, 3) ), ( (2, 3) ), ( (-2, -5) )

Шаг 7: Соединение точек

Соедините эти точки плавной кривой, помня о том, что парабола открывается вниз.

Заключение

Теперь вы можете увидеть график функции ( y = (3 - x)(x + 1) ) в виде параболы, которая проходит через найденные точки.