Изготовлена партия из 200 изделий, в которой оказалось три бракованных. Произведена выборка из пяти...

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторный метод и теорию вероятностей.

1. Вероятность, что в выборке из пяти изделий не будет ни одного бракованного.

Всего у нас 200 изделий, из которых 3 бракованных и 197 качественных. Мы хотим выбрать 5 изделий, в которых нет бракованных.

Количество способов выбрать 5 качественных изделий из 197: [ C_{197}^{5} = \frac{197!}{5!(197-5)!} ]

Общее количество способов выбрать любые 5 изделий из 200: [ C_{200}^{5} = \frac{200!}{5!(200-5)!} ]

Таким образом, вероятность того, что в выборке нет ни одного бракованного изделия, вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: [ P(\text{0 бракованных}) = \frac{C{197}^{5}}{C{200}^{5}} ]

2. Вероятность, что в выборке будет одно бракованное изделие.

Для этого случая мы выбираем 1 бракованное изделие из 3 и 4 качественных из оставшихся 197.

Количество способов выбрать 1 бракованное изделие из 3: [ C_{3}^{1} = 3 ]

Количество способов выбрать 4 качественных изделия из 197: [ C_{197}^{4} = \frac{197!}{4!(197-4)!} ]

Общее количество способов выбрать 5 изделий из 200 — это то же значение, что и в предыдущем пункте: [ C_{200}^{5} = \frac{200!}{5!(200-5)!} ]

Таким образом, вероятность того, что в выборке будет одно бракованное изделие: [ P(\text{1 бракованное}) = \frac{C{3}^{1} \times C{197}^{4}}{C_{200}^{5}} ]

Подсчеты

Теперь рассчитаем конкретные значения:

1. Выбор 5 качественных изделий из 197: [ C_{197}^{5} = \frac{197 \times 196 \times 195 \times 194 \times 193}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2,306,844,993 ]

2. Выбор 5 изделий из 200: [ C_{200}^{5} = \frac{200 \times 199 \times 198 \times 197 \times 196}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2,535,556,100 ]

3. Вероятность 0 бракованных: [ P(\text{0 бракованных}) = \frac{2,306,844,993}{2,535,556,100} \approx 0.9097 ]

4. Выбор 1 бракованного и 4 качественных: [ C{3}^{1} = 3 ] [ C{197}^{4} = \frac{197 \times 196 \times 195 \times 194}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 7,320,760 ]

5. Вероятность 1 бракованного: [ P(\text{1 бракованное}) = \frac{3 \times 7,320,760}{2,535,556,100} \approx 0.0861 ]

Таким образом, вероятность того, что в выборке нет ни одного бракованного изделия, составляет примерно 0.9097, а вероятность того, что в выборке будет одно бракованное изделие, составляет примерно 0.0861.

Для нахождения вероятности того, что в выборке из пяти изделий не будет ни одного бракованного изделия, мы должны учесть количество способов выбрать пять хороших изделий из 197 (так как изначально было 200 изделий и 3 из них бракованные) изделий и поделить на общее количество способов выбрать пять изделий из 200.

Вероятность выбрать 5 хороших изделий: P(5 хороших) = (С(197, 5) / C(200, 5))

Где С(n, k) - количество способов выбрать k элементов из n.

Аналогично, для вероятности нахождения одного бракованного изделия в выборке из пяти изделий, мы должны учесть количество способов выбрать одно бракованное изделие и четыре хороших изделия из 3 бракованных и 197 хороших изделий соответственно, и поделить на общее количество способов выбрать пять изделий из 200.

Вероятность выбрать 1 бракованное и 4 хороших изделия: P(1 бракованное) = (C(3, 1) * C(197, 4) / C(200, 5))

После вычисления этих значений, мы можем найти искомые вероятности.