Из города А в город В, расстояние между которыми 120км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости воторого, поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше.Определите скорости велосипедистов.
Из города А в город В, расстояние между которыми 120км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости воторого, поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше.Определите скорости велосипедистов.
Пусть скорость первого велосипедиста равна V км/ч, тогда скорость второго велосипедиста будет V-3 км/ч.
По формуле времени можно составить уравнение:
120/V - 120/(V-3) = 2
Упростим уравнение:
(120(V-3) - 120V)/(V(V-3)) = 2 (120V - 360 - 120V)/(V^2 - 3V) = 2 -360/(V^2 - 3V) = 2 -360 = 2V^2 - 6V 2V^2 - 6V - 360 = 0 V^2 - 3V - 180 = 0 (V - 15)(V + 12) = 0
Получаем два корня: V = 15 и V = -12. Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, а скорость второго велосипедиста равна 12 км/ч.
Для решения задачи обозначим скорость второго велосипедиста через ( v ) км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста будет ( v + 3 ) км/ч.
Пусть ( t ) часов — это время, за которое второй велосипедист преодолевает расстояние между городами А и В. Тогда первый велосипедист, прибывший на 2 часа раньше, затратит на этот путь ( t - 2 ) часов.
Используя формулу для скорости ( v = \frac{S}{t} ), где ( S ) — пройденное расстояние, составим уравнения для каждого из велосипедистов:
Для второго велосипедиста: [ v = \frac{120}{t} ]
Для первого велосипедиста: [ v + 3 = \frac{120}{t - 2} ]
Теперь у нас есть система уравнений: [ v = \frac{120}{t} ] [ v + 3 = \frac{120}{t - 2} ]
Подставим первое уравнение во второе: [ \frac{120}{t} + 3 = \frac{120}{t - 2} ]
Решим это уравнение для ( t ). Сначала избавимся от дробей, умножив обе стороны на ( t(t - 2) ): [ 120(t - 2) + 3t(t - 2) = 120t ]
Раскроем скобки: [ 120t - 240 + 3t^2 - 6t = 120t ]
Сократим ( 120t ) с обеих сторон: [ 3t^2 - 6t - 240 = 0 ]
Упростим это квадратное уравнение, разделив все на 3: [ t^2 - 2t - 80 = 0 ]
Решим квадратное уравнение методом дискриминанта. Дискриминант ( D ) равен: [ D = b^2 - 4ac ] где ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = -80 ): [ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 ]
Корни квадратного уравнения находятся по формуле: [ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ t = \frac{2 \pm \sqrt{324}}{2} ] [ t = \frac{2 \pm 18}{2} ]
Получаем два корня: [ t = \frac{20}{2} = 10 ] [ t = \frac{-16}{2} = -8 ]
Так как время не может быть отрицательным, выбираем ( t = 10 ) часов.
Теперь найдем скорость второго велосипедиста: [ v = \frac{120}{10} = 12 \text{ км/ч} ]
Скорость первого велосипедиста: [ v + 3 = 12 + 3 = 15 \text{ км/ч} ]
Таким образом, скорости велосипедистов:
Пусть скорость второго велосипедиста равна x км/ч, тогда скорость первого велосипедиста будет (x+3) км/ч. Составляем уравнение: 120/(x+3) = 120/x + 2 Решаем уравнение и находим, что скорость второго велосипедиста равна 20 км/ч, а скорость первого велосипедиста равна 23 км/ч.
