Из 100человек 85 знают английский язык,80-испанский,75-немецкий. Все владеют ,по крайней мере , одним...

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой включений-исключений.

Пусть A, B и C - это множества людей, знающих английский, испанский и немецкий языки соответственно. Тогда по условию задачи |A| = 85, |B| = 80, |C| = 75.

По формуле включений-исключений:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Из условия задачи мы знаем, что |A ∩ B ∩ C| = 0 и |A ∩ B| = |A ∩ C| = |B ∩ C| = 0.

Подставляем данные:

|A ∪ B ∪ C| = 85 + 80 + 75 - 0 - 0 - 0 + 0 = 240.

Итак, из 100 человек 240 знают хотя бы один иностранный язык.

Теперь нам нужно найти количество людей, знающих ровно 3 языка. По формуле включений-исключений:

|A ∩ B ∩ C| = |A ∪ B ∪ C| - |A| - |B| - |C| + 2 * |A ∩ B ∩ C|.

Подставляем данные:

|A ∩ B ∩ C| = 240 - 85 - 80 - 75 + 2 * 0 = 240 - 240 = 0.

Таким образом, из 100 человек никто не знает ровно 3 языка.

Для решения задачи используем принцип включения-исключения.

1. Пусть:

   • ( A ) — множество людей, знающих английский язык.
   • ( B ) — множество людей, знающих испанский язык.
   • ( C ) — множество людей, знающих немецкий язык.
   • (|A|) = 85,
   • (|B|) = 80,
   • (|C|) = 75.

2. Нам нужно найти количество людей, знающих одновременно три языка, то есть (|A \cap B \cap C|).

3. Условие задачи говорит, что каждый из 100 человек знает по крайней мере один язык, и среди них нет таких, кто знает только два языка. Следовательно, если кто-то знает два языка, он обязательно знает и третий.

4. Используем формулу включения-исключения для трёх множеств: [ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| ]

   Мы знаем, что (|A \cup B \cup C| = 100).

5. Подставим известные значения в формулу: [ 100 = 85 + 80 + 75 - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| ]

6. Из условия задачи известно, что нет людей, владеющих только двумя языками, то есть пересечения (|A \cap B|), (|A \cap C|), и (|B \cap C|) полностью включают людей, знающих три языка. Поэтому: [ |A \cap B| = |A \cap B \cap C|, \quad |A \cap C| = |A \cap B \cap C|, \quad |B \cap C| = |A \cap B \cap C| ]

   Обозначим (|A \cap B \cap C|) как ( x ).

7. Подставим ( x ) в формулу: [ 100 = 85 + 80 + 75 - x - x - x + x ] [ 100 = 240 - 2x ]

8. Решаем уравнение: [ 100 = 240 - 2x ] [ 2x = 240 - 100 ] [ 2x = 140 ] [ x = 70 ]

Таким образом, 70 человек из этих ста знают три языка.