Исследуйте функцию y=x^3-3x+1 и постройте её график. Ребята,я на экзамене!Выручайте!

Для исследования функции ( y = x^3 - 3x + 1 ) и построения её графика выполним следующие шаги:

1. Область определения

Функция является кубической, а значит её область определения - все действительные числа: ( D(f) = (-\infty, \infty) ).

2. Четность, нечетность

Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:

• четность: ( f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) + 1 = -x^3 + 3x + 1 \neq f(x) )
• нечетность: ( f(-x) = -x^3 + 3x + 1 \neq -f(x) )

3. Пересечение с осями координат

• Ось (y) (при (x = 0)): ( y = 0^3 - 3 \cdot 0 + 1 = 1 )
• Ось (x) (решение уравнения ( x^3 - 3x + 1 = 0 )):
  • Факторизация или приближенное решение покажет, что один из корней ( x = 1 ) (подставив, получим ( 1 - 3 + 1 = -1 + 1 = 0 )).
  • Для нахождения остальных корней можно использовать графический калькулятор или численные методы.

4. Производные и критические точки

• Первая производная: ( f'(x) = 3x^2 - 3 )

  • Найдем критические точки: ( 3x^2 - 3 = 0 ) или ( x^2 = 1 ), откуда ( x = \pm 1 ).
  • Исследуем знаки производной, чтобы определить максимумы и минимумы: ( f'(x) > 0 ) при ( x < -1 ) и ( x > 1 ), ( f'(x) < 0 ) при ( -1 < x < 1 ).
  • Таким образом, ( x = -1 ) - точка локального максимума, ( x = 1 ) - точка локального минимума.

• Вторая производная: ( f''(x) = 6x )

  • Находим точки перегиба: ( 6x = 0 ), откуда ( x = 0 ).

5. Асимптоты

Функция кубическая, асимптот нет.

6. Построение графика

График функции ( y = x^3 - 3x + 1 ) начинаем строить с учета найденных точек пересечения с осями, экстремальных точек и точек перегиба:

• Пересекает ось (y) в точке ( (0, 1) ).
• Пересекает ось (x) в точках, приблизительно равных (x = 1), и еще две точки, которые можно найти численно.
• Локальный максимум в точке ( (-1, f(-1)) ).
• Локальный минимум в точке ( (1, f(1)) ).
• Точка перегиба в ( (0, f(0)) = (0, 1) ).

По этим данным можно начертить график, учитывая поведение функции (убывает, возрастает) в зависимости от знака первой производной.

Для начала исследуем данную функцию на экстремумы. Найдем ее производную: y' = 3x^2 - 3. Далее приравняем производную к нулю и найдем критические точки: 3x^2 - 3 = 0 => x^2 = 1 => x = ±1.

Теперь определим характер экстремумов. Для этого найдем вторую производную: y'' = 6x. Подставим найденные критические точки: y''(1) = 6, y''(-1) = -6. Таким образом, у нас есть локальный минимум в точке (1, -1) и локальный максимум в точке (-1, 5).

Теперь построим график функции y=x^3-3x+1. Для этого подставим значения x от -∞ до +∞ и найдем соответствующие значения y. Построим график, учитывая найденные экстремумы.

График функции y=x^3-3x+1 будет иметь вид параболы, с вершинами в точках (-1, 5) и (1, -1).