Исследуйте функцию на монотонность а) у=x^3/3+5x^2/2-6x+4 b)y=cos x+5x С рисунками и обьяснением

a) Для функции y=x^3/3+5x^2/2-6x+4:

1. Находим производную функции: y' = x^2 + 5x - 6
2. Находим корни производной: x^2 + 5x - 6 = 0 -> (x+6)(x-1) = 0 -> x = -6, 1
3. Строим таблицу знаков производной: x < -6: y' < 0, функция убывает -6 < x < 1: y' > 0, функция возрастает x > 1: y' > 0, функция возрастает

b) Для функции y=cos(x)+5x:

1. Находим производную функции: y' = -sin(x) + 5
2. Решаем уравнение -sin(x) + 5 = 0 -> sin(x) = 5 (без решений)
3. Строим таблицу знаков производной: sin(x) < 5: y' > 0, функция возрастает sin(x) > 5: y' < 0, функция убывает

Таким образом, функция a) монотонно возрастает на интервале (-6, 1), а функция b) не имеет монотонности из-за отсутствия решений уравнения sin(x) = 5.

Исследование монотонности функций включает в себя анализ первой производной функции. Если первая производная положительна на интервале, функция возрастает на этом интервале; если отрицательна – функция убывает. Рассмотрим обе функции по отдельности.

a) ( y = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 6x + 4 )

1. Найдем первую производную функции: [ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 6x + 4 \right) ] [ y' = x^2 + 5x - 6 ]

2. Исследуем производную на знаки: Найдем корни уравнения ( y' = 0 ): [ x^2 + 5x - 6 = 0 ] Решим квадратное уравнение: [ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2} ] [ x_1 = 1, \quad x_2 = -6 ]

3. Построим числовую прямую и определим знаки производной на интервалах: [ \begin{cases} x < -6 \quad & y'(x) > 0 \ -6 < x < 1 \quad & y'(x) < 0 \ x > 1 \quad & y'(x) > 0 \ \end{cases} ] Это можно определить, подставляя значения из интервалов в производную ( y' ).

   • ( y'(x) > 0 ) на интервалах ( (-\infty, -6) ) и ( (1, +\infty) ) – функция возрастает.
   • ( y'(x) < 0 ) на интервале ( (-6, 1) ) – функция убывает.

4. Построим график функции:

b) ( y = \cos x + 5x )

1. Найдем первую производную функции: [ y' = \frac{d}{dx} ( \cos x + 5x ) = -\sin x + 5 ]

2. Исследуем производную на знаки: [ y' = -\sin x + 5 ] Так как (\sin x) колеблется между -1 и 1, то: [ -1 \leq \sin x \leq 1 ] Следовательно, [ -\sin x \geq -1 \quad \text{и} \quad -\sin x \leq 1 ] [ -\sin x + 5 \geq 4 \quad \text{и} \quad -\sin x + 5 \leq 6 ] Таким образом, ( y' ) всегда положительно: [ 4 \leq y' \leq 6 ] То есть, производная положительна на всей области определения функции.

3. Вывод: Функция ( y = \cos x + 5x ) возрастает на всей области определения ( x \in \mathbb{R} ).

4. Построим график функции:

Заключение:

• Для функции ( y = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 6x + 4 ):

  • Функция возрастает на интервалах ( (-\infty, -6) ) и ( (1, +\infty) ).
  • Функция убывает на интервале ( (-6, 1) ).

• Для функции ( y = \cos x + 5x ):

  • Функция возрастает на всей области определения ( x \in \mathbb{R} ).

Для анализа монотонности функций a) y=x^3/3+5x^2/2-6x+4 и b) y=cos(x)+5x, необходимо произвести их дифференцирование и изучить знаки производных.

a) Дифференцируем функцию y=x^3/3+5x^2/2-6x+4: y' = x^2 + 5x - 6.

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: x^2 + 5x - 6 = 0 (x+6)(x-1) = 0 x = -6, x = 1

Проведем исследование знаков производной на интервалах (-∞, -6), (-6, 1), (1, +∞): Для x < -6: y' < 0 (отрицательная производная), функция убывает. Для -6 < x < 1: y' > 0 (положительная производная), функция возрастает. Для x > 1: y' > 0 (положительная производная), функция возрастает.

Таким образом, функция a) y=x^3/3+5x^2/2-6x+4 монотонно возрастает на интервалах (-6, 1) и (1, +∞), и монотонно убывает на интервале (-∞, -6).

b) Дифференцируем функцию y=cos(x)+5x: y' = -sin(x) + 5.

Аналогично исследуем знаки производной на интервалах (-∞, +∞): Для всех x: y' принимает значения из интервала (-6, 6), меняя знак отрицательный на положительный и наоборот.

Следовательно, функция b) y=cos(x)+5x не является монотонной на всей числовой прямой, она чередует убывание и возрастание.

Построим графики функций для наглядности.