Исследуйте функцию и постройтк ее график f(x)=3-2x-x^2

Исследование функции и построение ее графика включают несколько шагов, таких как нахождение области определения, анализ критических точек и экстремумов, определение поведения на бесконечностях и построение графика.

1. Область определения: Функция ( f(x) = 3 - 2x - x^2 ) является многочленом второй степени, поэтому она определена на всей числовой прямой, то есть ( x \in \mathbb{R} ).

2. Нахождение производной: Чтобы найти критические точки, нужно вычислить первую производную функции и приравнять ее к нулю: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(3 - 2x - x^2) = -2 - 2x. ] Прирявняем производную к нулю: [ -2 - 2x = 0 \implies x = -1. ]

3. Анализ критических точек: Для определения типа критической точки (максимум, минимум или точка перегиба) исследуем знак второй производной в этой точке: [ f''(x) = \frac{d}{dx}(-2 - 2x) = -2. ] Так как вторая производная отрицательна ((f''(x) = -2 < 0)), это значит, что ( x = -1 ) является точкой максимума.

4. Значение функции в критической точке: Найдём значение функции в критической точке ( x = -1 ): [ f(-1) = 3 - 2(-1) - (-1)^2 = 3 + 2 - 1 = 4. ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ((-1, 4)).

5. Поведение на бесконечности: Поскольку ведущий коэффициент ((-1) при (x^2)) отрицательный, ветви параболы направлены вниз. Это значит, что при ( x \to \pm \infty ) функция ( f(x) \to -\infty ).

6. Пересечение с осями координат:

   • Пересечение с осью (y): [ f(0) = 3 - 2(0) - 0^2 = 3. ] Точка пересечения с осью (y) — ((0, 3)).

   • Пересечение с осью (x): Решим уравнение ( 3 - 2x - x^2 = 0 ): [ x^2 + 2x - 3 = 0. ] Решим это квадратное уравнение: [ x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}. ] Получаем два корня: [ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -3. ] Точки пересечения с осью (x) — ((1, 0)) и ((-3, 0)).

7. Построение графика: Теперь у нас есть все необходимые данные для построения графика функции:

   • Вершина параболы: ((-1, 4)).
   • Точки пересечения с осями координат: ((0, 3)), ((1, 0)), ((-3, 0)).

На основании этих данных можно построить график функции ( f(x) = 3 - 2x - x^2 ). График представляет собой параболу, направленную вниз с вершиной в точке ((-1, 4)) и пересекающую ось (x) в точках ((1, 0)) и ((-3, 0)), а ось (y) — в точке ((0, 3)).

Этот график иллюстрирует все основные свойства функции, включая критическую точку, экстремумы и точки пересечения с осями.

Для исследования функции f(x) = 3 - 2x - x^2 сначала определим область определения. Поскольку любое значение x может быть подставлено в данную функцию, область определения функции f(x) - это множество всех действительных чисел.

Теперь проанализируем поведение функции. Для этого выразим функцию в канонической форме:

f(x) = -x^2 - 2x + 3

Теперь можем определить вершину параболы, которая является точкой экстремума функции. Вершина параболы находится в точке, где производная функции равна нулю. Найдем производную функции f(x):

f'(x) = -2x - 2

Теперь приравняем производную к нулю и найдем x-координату вершины:

-2x - 2 = 0 -2x = 2 x = -1

Таким образом, вершина параболы находится в точке (-1, 4). Теперь можем построить график функции f(x) = 3 - 2x - x^2. График будет представлять собой параболу, направленную вниз, с вершиной в точке (-1, 4).

Данная функция является квадратичной. График функции f(x) = 3 - 2x - x^2 - это парабола, направленная вниз, с вершиной в точке x = -1.