Исследуйте функцию f(x)=3x^2-x^3 и постройте ее график

Для исследования функции f(x) = 3x^2 - x^3 сначала найдем ее производные.

Первая производная: f'(x) = 6x - 3x^2 Вторая производная: f''(x) = 6 - 6x

Для нахождения точек экстремума приравняем первую производную к нулю: 6x - 3x^2 = 0 3x(2 - x) = 0 x = 0 или x = 2

Подставляя найденные значения обратно в исходную функцию, получаем точки экстремума: f(0) = 0 f(2) = 8

Таким образом, у функции f(x) = 3x^2 - x^3 есть точка экстремума (2, 8), а также точка перегиба (0, 0).

Чтобы построить график функции, можно использовать программы для построения графиков, такие как GeoGebra или Wolfram Alpha. На графике будут отображены точки экстремума и перегиба, а также форма кривой функции.

Исследование функции ( f(x) = 3x^2 - x^3 ) включает несколько шагов: нахождение области определения функции, исследование на чётность и нечётность, нахождение производных и критических точек, исследование на монотонность и экстремумы, исследование на выпуклость и вогнутость, а также построение графика.

1. Область определения функции: Функция ( f(x) = 3x^2 - x^3 ) является многочленом, поэтому она определена на всей числовой прямой, то есть ( x \in (-\infty, \infty) ).

2. Чётность и нечётность функции: Для проверки чётности или нечётности функции, вычислим ( f(-x) ): [ f(-x) = 3(-x)^2 - (-x)^3 = 3x^2 + x^3 ] ( f(-x) \neq f(x) ) и ( f(-x) \neq -f(x) ), следовательно, функция ( f(x) ) не является ни чётной, ни нечётной.

3. Нахождение производной: Найдём первую производную ( f'(x) ): [ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - x^3) = 6x - 3x^2 ] Найдём критические точки, приравняв первую производную к нулю: [ 6x - 3x^2 = 0 \implies 3x(2 - x) = 0 \implies x = 0 \text{ или } x = 2 ]

4. Исследование на монотонность: Для исследования знака первой производной, рассмотрим промежутки: [ f'(x) = 6x - 3x^2 ] Промежутки: ( (-\infty, 0) ), ( (0, 2) ), ( (2, \infty) ).

   • Для ( x \in (-\infty, 0) ): ( f'(x) < 0 ) (убывает)
   • Для ( x \in (0, 2) ): ( f'(x) > 0 ) (возрастает)
   • Для ( x \in (2, \infty) ): ( f'(x) < 0 ) (убывает)

   Таким образом, ( x = 0 ) и ( x = 2 ) — критические точки, где функция меняет знак производной.

5. Нахождение экстремумов: Подставим критические точки в функцию ( f(x) ): [ f(0) = 0, \quad f(2) = 3 \cdot 2^2 - 2^3 = 12 - 8 = 4 ]

   • В точке ( x = 0 ) функция имеет локальный минимум.
   • В точке ( x = 2 ) функция имеет локальный максимум.

6. Выпуклость и вогнутость: Найдём вторую производную ( f''(x) ): [ f''(x) = \frac{d}{dx}(6x - 3x^2) = 6 - 6x ] Для определения знака второй производной, рассмотрим:

   • ( f''(x) > 0 ) при ( x < 1 ) (функция вогнута вверх)
   • ( f''(x) < 0 ) при ( x > 1 ) (функция вогнута вниз)

   Точка ( x = 1 ) является точкой перегиба.

7. Построение графика: Основываясь на вышеуказанных свойствах, график функции ( f(x) = 3x^2 - x^3 ) имеет следующие особенности:

   • Определён на всей числовой прямой.
   • Имеет критические точки в ( x = 0 ) (локальный минимум) и ( x = 2 ) (локальный максимум).
   • Точка перегиба в ( x = 1 ).
   • Убывает на промежутках ( (-\infty, 0) ) и ( (2, \infty) ), возрастает на промежутке ( (0, 2) ).

Чтобы построить график, можно определить несколько дополнительных точек, например ( f(1) = 3 - 1 = 2 ), и соединить все точки, учитывая поведение функции на различных промежутках.

График функции будет выглядеть следующим образом:

• Он имеет форму "вверх-вниз", поднимаясь к локальному максимуму в точке ( x = 2 ) и опускаясь к локальному минимуму в точке ( x = 0 ).
• В точке ( x = 1 ) происходит переход от выпуклости вверх к выпуклости вниз.

Используйте эти сведения для построения точного графика функции.

Функция f(x)=3x^2-x^3 - это парабола, с вершиной в точке (1.5, 3.375), которая открывается вниз. График будет выглядеть как парабола, пересекающая ось Y в точке (0,0) и имеющая точку перегиба в (1, 2).