Исследуйте функции f (x)=x^2-7x+10 и постройте ее график:
Найдите значение функции в точках 1;-1;2;4;x+1.
Исследуйте функции f (x)=x^2-7x+10 и постройте ее график:
Найдите значение функции в точках 1;-1;2;4;x+1.
Для функции ( f(x) = x^2 - 7x + 10 ) проведем исследование и построим график.
Найдем значения функции в заданных точках:
Для ( x = 1 ): [ f(1) = 1^2 - 7 \cdot 1 + 10 = 1 - 7 + 10 = 4 ]
Для ( x = -1 ): [ f(-1) = (-1)^2 - 7 \cdot (-1) + 10 = 1 + 7 + 10 = 18 ]
Для ( x = 2 ): [ f(2) = 2^2 - 7 \cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 ]
Для ( x = 4 ): [ f(4) = 4^2 - 7 \cdot 4 + 10 = 16 - 28 + 10 = -2 ]
Для ( x = x + 1 ): [ f(x+1) = (x+1)^2 - 7(x+1) + 10 ] Раскроем скобки и упростим: [ f(x+1) = x^2 + 2x + 1 - 7x - 7 + 10 = x^2 - 5x + 4 ]
Построим график функции ( f(x) = x^2 - 7x + 10 ):
Найдем вершину параболы: Формула для координаты вершины параболы ( y = ax^2 + bx + c ) по оси ( x ) имеет вид ( x = -\frac{b}{2a} ). Здесь ( a = 1 ), ( b = -7 ), ( c = 10 ), тогда: [ x_v = -\frac{-7}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2} = 3.5 ]
Найдем значение функции в вершине: [ f(3.5) = (3.5)^2 - 7 \cdot 3.5 + 10 = 12.25 - 24.5 + 10 = -2.25 ] Вершина параболы имеет координаты ( (3.5, -2.25) ).
Найдем точки пересечения с осями: Точки пересечения с осью ( x ) (нулевые точки): [ x^2 - 7x + 10 = 0 ] Решим квадратное уравнение: [ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} ] [ x_1 = \frac{10}{2} = 5 ] [ x_2 = \frac{4}{2} = 2 ] Точки пересечения с осью ( x ): ( (5, 0) ) и ( (2, 0) ).
Точка пересечения с осью ( y ) (при ( x = 0 )): [ f(0) = 10 ] Точка пересечения с осью ( y ): ( (0, 10) ).
Построение графика: График функции ( f(x) = x^2 - 7x + 10 ) является параболой, открытой вверх. Основные точки для построения:
С учетом этих точек, построим график параболы, отмечая ключевые точки и соединяя их плавной кривой.
Подведем итоги:
1) f(1) = 1^2 - 71 + 10 = 1 - 7 + 10 = 4 2) f(-1) = (-1)^2 - 7(-1) + 10 = 1 + 7 + 10 = 18 3) f(2) = 2^2 - 72 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 4) f(4) = 4^2 - 74 + 10 = 16 - 28 + 10 = -2 5) f(x+1) = (x+1)^2 - 7(x+1) + 10 = x^2 + 2x + 1 - 7x - 7 + 10 = x^2 - 5x + 4
Для исследования функции f(x) = x^2 - 7x + 10 сначала найдем ее вершины, используя формулу x = -b/2a:
a = 1, b = -7 x = -(-7) / 2*1 = 7/2 = 3.5
Теперь найдем значение функции в вершине:
f(3.5) = (3.5)^2 - 7(3.5) + 10 = 12.25 - 24.5 + 10 = -2.25
График функции f(x) = x^2 - 7x + 10 - это парабола, направленная вверх, с вершиной в точке (3.5, -2.25).
Теперь найдем значения функции в остальных точках:
f(1) = (1)^2 - 7(1) + 10 = 1 - 7 + 10 = 4 f(-1) = (-1)^2 - 7(-1) + 10 = 1 + 7 + 10 = 18 f(2) = (2)^2 - 7(2) + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 f(4) = (4)^2 - 7(4) + 10 = 16 - 28 + 10 = -2 f(x+1) = (x+1)^2 - 7(x+1) + 10 = x^2 + 2x + 1 - 7x - 7 + 10 = x^2 - 5x + 4
Таким образом, значения функции в точках 1, -1, 2, 4, x+1 равны соответственно: 4, 18, 0, -2, x^2 - 5x + 4.
