Игорь и Паша красят забор за 18 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 20 часов, а Володя и Игорь...

Для решения данной задачи можно воспользоваться методом обратного движения. Пусть за 1 час работы трое мальчиков покрашенят 1/х часть забора. Тогда за 1 час работы Игорь и Паша покрасят 1/18 часть забора, Паша и Володя - 1/20 часть, Володя и Игорь - 1/30 часть.

Объединяя эти результаты, получим: 1/18 + 1/20 + 1/30 = (10 + 9 + 6) / 180 = 25 / 180 часть забора за 1 час работы троих мальчиков.

Таким образом, трое мальчиков покрасят весь забор за 180 / 25 = 7,2 часа, что равно 7,2 * 60 = 432 минутам.

Итак, мальчики покрасят забор, работая втроем, за 432 минуты.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием производительности труда, которое выражается в доле забора, покрашенной за единицу времени (час).

Обозначим производительность Игоря как ( I ), Паши как ( P ), и Володи как ( V ). Тогда, согласно условию задачи, можно записать следующие уравнения для совместной работы двух мальчиков:

1. Игорь и Паша красят забор за 18 часов: [ I + P = \frac{1}{18} ]

2. Паша и Володя красят забор за 20 часов: [ P + V = \frac{1}{20} ]

3. Володя и Игорь красят забор за 30 часов: [ V + I = \frac{1}{30} ]

Наша цель — найти производительность всех троих вместе, то есть ( I + P + V ).

Сложим все три уравнения: [ (I + P) + (P + V) + (V + I) = \frac{1}{18} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} ]

Слева у нас: [ 2I + 2P + 2V = 2(I + P + V) ]

Справа у нас необходимо найти общий знаменатель для дробей: [ \frac{1}{18} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} ]

Находим общий знаменатель (наименьшее общее кратное чисел 18, 20 и 30): [ \text{НОК}(18, 20, 30) = 180 ]

Теперь приводим дроби к общему знаменателю: [ \frac{1}{18} = \frac{10}{180}, \quad \frac{1}{20} = \frac{9}{180}, \quad \frac{1}{30} = \frac{6}{180} ]

Складываем дроби: [ \frac{10}{180} + \frac{9}{180} + \frac{6}{180} = \frac{25}{180} ]

Таким образом: [ 2(I + P + V) = \frac{25}{180} ]

Делим обе части уравнения на 2, чтобы найти ( I + P + V ): [ I + P + V = \frac{25}{360} = \frac{5}{72} ]

Теперь найдём время, за которое они втроем покрасят забор. Если их совместная производительность составляет (\frac{5}{72}) забора в час, то весь забор они покрасят за: [ \frac{1}{\frac{5}{72}} = \frac{72}{5} = 14.4 \text{ часа} ]

Преобразуем часы в минуты (1 час = 60 минут): [ 14.4 \text{ часа} \times 60 \text{ минут/час} = 864 \text{ минуты} ]

Итак, работая втроём, Игорь, Паша и Володя покрасят забор за 864 минуты.