F(x)=3x^4-4x^3-12x^2+7 найдите критические точки функций

Для того чтобы найти критические точки функции ( f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 7 ), нужно сначала найти её первую производную и затем определить, где эта производная равна нулю или не существует.

Шаг 1: Найти первую производную функции

Первая производная функции ( f(x) ) обозначается как ( f'(x) ). Используем правила дифференцирования для полиномиальной функции:

( f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 7 )

Применяя правило дифференцирования для каждого члена, получаем:

[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4) - \frac{d}{dx}(4x^3) - \frac{d}{dx}(12x^2) + \frac{d}{dx}(7) ]

[ f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x ]

Шаг 2: Найти точки, где ( f'(x) = 0 )

Для этого решим уравнение:

[ 12x^3 - 12x^2 - 24x = 0 ]

Вынесем общий множитель ( 12x ):

[ 12x(x^2 - x - 2) = 0 ]

Теперь решим уравнение ( 12x(x^2 - x - 2) = 0 ) разложив его на множители:

[ 12x = 0 \implies x = 0 ]

и

[ x^2 - x - 2 = 0 ]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

В нашем случае ( a = 1 ), ( b = -1 ), и ( c = -2 ):

[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} ]

[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} ]

[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} ]

[ x = \frac{1 \pm 3}{2} ]

Таким образом, получаем два корня:

[ x = \frac{1 + 3}{2} = 2 ]

[ x = \frac{1 - 3}{2} = -1 ]

Шаг 3: Определить, являются ли эти точки критическими

Мы нашли, что ( f'(x) = 0 ) при ( x = 0 ), ( x = -1 ), и ( x = 2 ). Эти точки будут критическими точками функции ( f(x) ).

Вывод

Критические точки функции ( f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 7 ) находятся в точках ( x = 0 ), ( x = -1 ), и ( x = 2 ). Эти точки могут быть либо точками максимума, минимума, либо точками перегиба. Для их определения можно использовать вторую производную и исследовать знак изменения первой производной в окрестностях каждой критической точки.

Для того чтобы найти критические точки функции f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+7, нужно сначала найти производную функции f'(x). Для этого возьмем производную каждого члена функции по отдельности:

f'(x) = d/dx (3x^4) - d/dx (4x^3) - d/dx (12x^2) + d/dx (7) f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x

Далее найдем точки, в которых производная равна нулю (критические точки). Для этого решим уравнение f'(x) = 0:

12x^3 - 12x^2 - 24x = 0 По факторизации этого уравнения, можно найти корни x=0, x=2 и x=-1.

Таким образом, критическими точками функции f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+7 являются x=0, x=2 и x=-1.

Для нахождения критических точек функции f(x) нужно найти производную от функции, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.