F(x)=3+24x-3x^2-x^3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции. Очень срочно!

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции ( F(x) = 3 + 24x - 3x^2 - x^3 ), необходимо сначала найти её производную. Производная функции покажет, где функция возрастает (положительная производная) и где убывает (отрицательная производная).

1. Найдём производную ( F(x) ):

   [ F'(x) = \frac{d}{dx}(3 + 24x - 3x^2 - x^3) ]

   [ F'(x) = 0 + 24 - 6x - 3x^2 ]

   Таким образом, производная функции ( F(x) ) равна:

   [ F'(x) = 24 - 6x - 3x^2 ]

2. Найдём критические точки:

   Для этого приравняем производную к нулю:

   [ 24 - 6x - 3x^2 = 0 ]

   Упростим уравнение:

   [ -3x^2 - 6x + 24 = 0 ]

   Разделим всё уравнение на (-3) для упрощения:

   [ x^2 + 2x - 8 = 0 ]

   Найдём корни квадратного уравнения. Это можно сделать с помощью дискриминанта:

   [ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 ]

   Корни уравнения:

   [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} ]

   [ x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 ]

   [ x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4 ]

3. Определим знаки производной на промежутках:

   У нас есть критические точки ( x = -4 ) и ( x = 2 ). Теперь определим знаки производной на промежутках ((-\infty, -4)), ((-4, 2)) и ((2, \infty)).

   • Для промежутка ((-\infty, -4)), выберем тестовую точку ( x = -5 ):

     [ F'(-5) = 24 - 6(-5) - 3(-5)^2 = 24 + 30 - 75 = -21 ]

     Производная отрицательна, значит, функция убывает.

   • Для промежутка ((-4, 2)), выберем тестовую точку ( x = 0 ):

     [ F'(0) = 24 - 6(0) - 3(0)^2 = 24 ]

     Производная положительна, значит, функция возрастает.

   • Для промежутка ((2, \infty)), выберем тестовую точку ( x = 3 ):

     [ F'(3) = 24 - 6(3) - 3(3)^2 = 24 - 18 - 27 = -21 ]

     Производная отрицательна, значит, функция убывает.

4. Ответ:

   Функция ( F(x) = 3 + 24x - 3x^2 - x^3 ) возрастает на промежутке ((-4, 2)) и убывает на промежутках ((-\infty, -4)) и ((2, \infty)).

Промежутки возрастания: (-бесконечность, -2) и (4, +бесконечность) Промежутки убывания: (-2, 4)

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции F(x)=3+24x-3x^2-x^3, нужно сначала найти производную этой функции. Производная функции F(x) будет равна F'(x) = 24 - 6x - 3x^2.

Затем найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 24 - 6x - 3x^2 = 0. Решив это уравнение, мы получим две точки экстремума: x = -2 и x = 4.

Теперь можем построить таблицу знаков производной в окрестностях найденных точек экстремума и определить промежутки возрастания и убывания функции:

1. Для x < -2: F'(x) > 0, значит функция возрастает на этом промежутке.
2. Для -2 < x < 4: F'(x) < 0, значит функция убывает на этом промежутке.
3. Для x > 4: F'(x) > 0, значит функция возрастает на этом промежутке.

Итак, функция возрастает на промежутке x < -2 и x > 4, а убывает на промежутке -2 < x < 4.