Если каждое ребро куба увеличить на 3, то его объём увеличится на 63. Найдите ребро куба.

Пусть длина ребра исходного куба равна а. Тогда его объем равен а^3. Если каждое ребро увеличить на 3, то новая длина ребра будет равна (а + 3). Тогда объем нового куба будет равен (а + 3)^3.

По условию задачи, объем нового куба увеличивается на 63: (а + 3)^3 - а^3 = 63 а^3 + 3a^23 + 3a3^2 + 3^3 - а^3 = 63 27a + 27 = 63 27a = 36 a = 36 / 27 a = 4/3

Итак, длина ребра исходного куба равна 4/3.

Допустим, длина ребра исходного куба равна ( a ).

Изначальный объём куба равен ( a^3 ).

После увеличения каждого ребра на 3, длина ребра нового куба становится ( a + 3 ).

Объём нового куба будет равен ( (a + 3)^3 ).

По условию задачи, разница в объёмах двух кубов равна 63: [ (a + 3)^3 - a^3 = 63 ]

Раскроем куб суммы ( (a + 3)^3 ): [ (a + 3)^3 = a^3 + 3a^2 \cdot 3 + 3a \cdot 3^2 + 3^3 ] [ (a + 3)^3 = a^3 + 9a^2 + 27a + 27 ]

Теперь подставим это в уравнение: [ a^3 + 9a^2 + 27a + 27 - a^3 = 63 ]

Упростим уравнение: [ 9a^2 + 27a + 27 = 63 ]

Отнимем 63 от обеих частей уравнения: [ 9a^2 + 27a + 27 - 63 = 0 ] [ 9a^2 + 27a - 36 = 0 ]

Разделим обе части уравнения на 9 для упрощения: [ a^2 + 3a - 4 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения: [ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Для нашего уравнения ( a^2 + 3a - 4 = 0 ), где ( a = 1 ), ( b = 3 ), и ( c = -4 ), подставим значения в формулу: [ a = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} ] [ a = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} ] [ a = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} ] [ a = \frac{-3 \pm 5}{2} ]

Получаем два решения: [ a = \frac{2}{2} = 1 ] [ a = \frac{-8}{2} = -4 ]

Так как длина ребра куба не может быть отрицательной, принимаем только положительное значение: [ a = 1 ]

Таким образом, длина ребра исходного куба равна 1.

Ребро куба равно 6.