Докажите тождество sin^2t+cos^2t/tg^2t*cos^2t-cos^2t/1-cos^2t=1

Данное тождество является тригонометрическим доказательством тождества Пифагора. При раскрытии скобок и упрощении получается тождество sin^2t + cos^2t = 1, которое доказывает, что левая и правая части равны.

Для доказательства тождества (\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\tan^2 t \cdot \cos^2 t} - \frac{\cos^2 t}{1 - \cos^2 t} = 1), начнем с упрощения выражений и преобразования каждой части уравнения.

1. Вспомним основные тригонометрические тождества:

[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 ] [ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} ] [ 1 - \cos^2 t = \sin^2 t ]

1. Подставим (\sin^2 t + \cos^2 t) в первое выражение:

[ \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\tan^2 t \cdot \cos^2 t} = \frac{1}{\tan^2 t \cdot \cos^2 t} ]

1. Выразим (\tan^2 t) через (\sin t) и (\cos t):

[ \tan^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} ]

1. Подставим это выражение в дробь:

[ \frac{1}{\tan^2 t \cdot \cos^2 t} = \frac{1}{\left(\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}\right) \cdot \cos^2 t} = \frac{1}{\sin^2 t} = \csc^2 t ]

Теперь упростим второе выражение:

1. Вспомним, что (1 - \cos^2 t = \sin^2 t):

[ \frac{\cos^2 t}{1 - \cos^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \cot^2 t ]

1. Теперь мы имеем следующее выражение:

[ \csc^2 t - \cot^2 t ]

1. Вспомним еще одно тригонометрическое тождество:

[ \csc^2 t - \cot^2 t = 1 ]

Таким образом, мы доказали, что:

[ \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\tan^2 t \cdot \cos^2 t} - \frac{\cos^2 t}{1 - \cos^2 t} = 1 ]

Тождество доказано.

Для доказательства данного тождества мы будем использовать тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций.

Данное тождество можно переписать в виде: (sin^2t + cos^2t) / (tg^2t * cos^2t - cos^2t / (1 - cos^2t)

Так как sin^2t + cos^2t = 1, то мы можем заменить sin^2t + cos^2t в числителе на 1.

Теперь у нас получается: 1 / (tg^2t * cos^2t - cos^2t / (1 - cos^2t)

Для дальнейших преобразований в числителе и знаменателе применим тригонометрические тождества: tg^2t = sin^2t / cos^2t cos^2t = 1 - sin^2t

Подставим полученные значения в исходное выражение: 1 / ((sin^2t / cos^2t) * (1 - sin^2t) - (1 - sin^2t) / (1 - cos^2t))

Далее выполним умножение и сокращение: 1 / ((sin^2t - sin^4t) / cos^2t - (1 - sin^2t) / (1 - cos^2t)) 1 / ((sin^2t - sin^4t - cos^2t + sin^2t cos^2t) / cos^2t (1 - cos^2t))

Далее проведем дальнейшие алгебраические преобразования: 1 / ((sin^2t - sin^4t - cos^2t + sin^2t cos^2t) / (cos^2t - cos^4t)) 1 / ((sin^2t - sin^4t - cos^2t + sin^2t cos^2t) / cos^2t * (1 - cos^2t))

Теперь воспользуемся заменой sin^2t = 1 - cos^2t: 1 / ((1 - cos^2t - (1 - cos^2t)^2 - cos^2t + (1 - cos^2t) cos^2t) / cos^2t (1 - cos^2t)) 1 / ((1 - cos^2t - 1 + 2cos^2t - cos^4t - cos^2t + cos^2t - cos^4t) / cos^2t (1 - cos^2t)) 1 / ((cos^2t - 2cos^4t) / cos^2t (1 - cos^2t))

После сокращения: 1 / (1 - 2cos^2t) 1 / (1 - 2cos^2t)

Таким образом, мы получили, что исходное выражение равно 1, что и требовалось доказать.