Докажите тождество sin^2t+cos^2t/tg^2t*cos^2t-cos^2t/1-cos^2t=1

Данное тождество является тригонометрическим доказательством тождества Пифагора. При раскрытии скобок и упрощении получается тождество sin^2t + cos^2t = 1, которое доказывает, что левая и правая части равны.

Для доказательства тождества $\frac{{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t}{{\tan }^{2}t\cdot {\cos }^{2}t}-\frac{{\cos }^{2}t}{1-{\cos }^{2}t}=1$, начнем с упрощения выражений и преобразования каждой части уравнения.

1. Вспомним основные тригонометрические тождества:

${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$ $\tan t=\frac{\sin t}{\cos t}$ $1-{\cos }^{2}t={\sin }^{2}t$

1. Подставим ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t$ в первое выражение:

$\frac{{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t}{{\tan }^{2}t\cdot {\cos }^{2}t}=\frac{1}{{\tan }^{2}t\cdot {\cos }^{2}t}$

1. Выразим ${\tan }^{2}t$ через $\sin t$ и $\cos t$:

${\tan }^{2}t=\frac{{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}$

1. Подставим это выражение в дробь:

$\frac{1}{{\tan }^{2}t\cdot {\cos }^{2}t}=\frac{1}{\left(\frac{{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}\right)\cdot {\cos }^{2}t}=\frac{1}{{\sin }^{2}t}={\csc }^{2}t$

Теперь упростим второе выражение:

1. Вспомним, что $1-{\cos }^{2}t={\sin }^{2}t$:

$\frac{{\cos }^{2}t}{1-{\cos }^{2}t}=\frac{{\cos }^{2}t}{{\sin }^{2}t}={\cot }^{2}t$

1. Теперь мы имеем следующее выражение:

${\csc }^{2}t-{\cot }^{2}t$

1. Вспомним еще одно тригонометрическое тождество:

${\csc }^{2}t-{\cot }^{2}t=1$

Таким образом, мы доказали, что:

$\frac{{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t}{{\tan }^{2}t\cdot {\cos }^{2}t}-\frac{{\cos }^{2}t}{1-{\cos }^{2}t}=1$

Тождество доказано.

Для доказательства данного тождества мы будем использовать тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций.

Данное тождество можно переписать в виде: $si{n}^{2}t+co{s}^{2}t$ / $t{g}^{2}t\ast co{s}^{2}t-co{s}^{2}t/(1-co{s}^{2}t$

Так как sin^2t + cos^2t = 1, то мы можем заменить sin^2t + cos^2t в числителе на 1.

Теперь у нас получается: 1 / $t{g}^{2}t\ast co{s}^{2}t-co{s}^{2}t/(1-co{s}^{2}t$

Для дальнейших преобразований в числителе и знаменателе применим тригонометрические тождества: tg^2t = sin^2t / cos^2t cos^2t = 1 - sin^2t

Подставим полученные значения в исходное выражение: 1 / $(si{n}^{2}t/co{s}^{2}t$ * $1-si{n}^{2}t$ - $1-si{n}^{2}t$ / $1-co{s}^{2}t$)

Далее выполним умножение и сокращение: 1 / $(si{n}^{2}t-si{n}^{4}t$ / cos^2t - $1-si{n}^{2}t$ / $1-co{s}^{2}t$) 1 / ((sin^2t - sin^4t - cos^2t + sin^2t cos^2t) / cos^2t $1-co{s}^{2}t$)

Далее проведем дальнейшие алгебраические преобразования: 1 / ((sin^2t - sin^4t - cos^2t + sin^2t cos^2t) / $co{s}^{2}t-co{s}^{4}t$) 1 / ((sin^2t - sin^4t - cos^2t + sin^2t cos^2t) / cos^2t * $1-co{s}^{2}t$)

Теперь воспользуемся заменой sin^2t = 1 - cos^2t: 1 / $(1-co{s}^{2}t-(1-co{s}^{2}t$^2 - cos^2t + $1-co{s}^{2}t$ cos^2t) / cos^2t $1-co{s}^{2}t$) 1 / $(1-co{s}^{2}t-1+2co{s}^{2}t-co{s}^{4}t-co{s}^{2}t+co{s}^{2}t-co{s}^{4}t$ / cos^2t $1-co{s}^{2}t$) 1 / $(co{s}^{2}t-2co{s}^{4}t$ / cos^2t $1-co{s}^{2}t$)

После сокращения: 1 / $1-2co{s}^{2}t$ 1 / $1-2co{s}^{2}t$

Таким образом, мы получили, что исходное выражение равно 1, что и требовалось доказать.