Докажите тождество: 1-tg^2А=cos2A/cos^2A

Чтобы доказать тождество (1 - \tan^2 A = \frac{\cos 2A}{\cos^2 A}), воспользуемся тригонометрическими преобразованиями и известными формулами.

1. Определение тангенса и его квадрат: [ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} ] Следовательно, [ \tan^2 A = \left(\frac{\sin A}{\cos A}\right)^2 = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} ]

2. Выражение (1 - \tan^2 A): [ 1 - \tan^2 A = 1 - \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \frac{\cos^2 A - \sin^2 A}{\cos^2 A} ]

3. Формула для косинуса двойного угла: [ \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A ]

   Таким образом, правая часть выражения: [ \frac{\cos 2A}{\cos^2 A} = \frac{\cos^2 A - \sin^2 A}{\cos^2 A} ]

4. Сравнение левой и правой частей:

   Мы видим, что обе части равенства: [ 1 - \tan^2 A = \frac{\cos^2 A - \sin^2 A}{\cos^2 A} = \frac{\cos 2A}{\cos^2 A} ]

Таким образом, мы доказали, что тождество (1 - \tan^2 A = \frac{\cos 2A}{\cos^2 A}) верно. Мы использовали формулы для тангенса и косинуса двойного угла, а также алгебраические преобразования для упрощения выражений.

1 - tg^2(A) = cos^2(A) / cos^2(A) 1 - sin^2(A) / cos^2(A) = cos^2(A) / cos^2(A) cos^2(A) = cos^2(A)

Для доказательства данного тождества воспользуемся следующими тригонометрическими формулами:

1. Теорема Пифагора: sin^2A + cos^2A = 1
2. Определение тангенса: tgA = sinA/cosA
3. Формула двойного угла для косинуса: cos2A = cos^2A - sin^2A

Начнем с левой части тождества:

1 - tg^2A = 1 - (sinA/cosA)^2 = 1 - sin^2A/cos^2A = cos^2A/cos^2A - sin^2A/cos^2A = (cos^2A - sin^2A)/cos^2A = cos2A/cos^2A

Таким образом, левая часть тождества равна правой части, что и требовалось доказать.