Докажите, что функция F является первообразной для функции f на множестве R: F(x)=x^4-3, f(x)=4x^3;...

Для того чтобы доказать, что ( F(x) ) является первообразной для функции ( f(x) ) на множестве ( \mathbb{R} ), нужно показать, что производная функции ( F(x) ) равна ( f(x) ) для всех ( x \in \mathbb{R} ). Формально это означает, что ( F'(x) = f(x) ).

а) ( F(x) = x^4 - 3 ), ( f(x) = 4x^3 )

1. Найдем производную ( F'(x) ): [ F'(x) = \frac{d}{dx}[x^4 - 3]. ] Используем правило дифференцирования для суммы функций и степенную формулу производной ( \frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1} ): [ F'(x) = \frac{d}{dx}[x^4] - \frac{d}{dx}[3] = 4x^3 - 0 = 4x^3. ]

2. Сравним ( F'(x) ) с ( f(x) ): [ F'(x) = 4x^3, \quad f(x) = 4x^3. ] Так как ( F'(x) = f(x) ), то ( F(x) ) действительно является первообразной для функции ( f(x) ) на множестве ( \mathbb{R} ).

б) ( F(x) = 5x - \cos x ), ( f(x) = 5 + \sin x )

1. Найдем производную ( F'(x) ): [ F'(x) = \frac{d}{dx}[5x - \cos x]. ] Используем правило дифференцирования для суммы функций и известные производные:

   • ( \frac{d}{dx}[5x] = 5 ),
   • ( \frac{d}{dx}[-\cos x] = \sin x ). Тогда: [ F'(x) = 5 + \sin x. ]

2. Сравним ( F'(x) ) с ( f(x) ): [ F'(x) = 5 + \sin x, \quad f(x) = 5 + \sin x. ] Так как ( F'(x) = f(x) ), то ( F(x) ) действительно является первообразной для функции ( f(x) ) на множестве ( \mathbb{R} ).

Вывод

1. В случае а) ( F(x) = x^4 - 3 ) является первообразной для ( f(x) = 4x^3 ) на ( \mathbb{R} ).
2. В случае б) ( F(x) = 5x - \cos x ) является первообразной для ( f(x) = 5 + \sin x ) на ( \mathbb{R} ).

Чтобы доказать, что функция ( F ) является первообразной для функции ( f ) на множестве ( \mathbb{R} ), нужно показать, что производная функции ( F ) равна функции ( f ). То есть, необходимо вычислить производную ( F'(x) ) и проверить, равна ли она ( f(x) ).

а) ( F(x) = x^4 - 3 ), ( f(x) = 4x^3 )

1. Вычислим производную ( F(x) ): [ F'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 3) ] Применяя правило дифференцирования, получаем: [ F'(x) = 4x^3 - 0 = 4x^3 ]

2. Сравним с ( f(x) ): Мы видим, что: [ F'(x) = 4x^3 = f(x) ]

Таким образом, ( F(x) = x^4 - 3 ) является первообразной для ( f(x) = 4x^3 ) на множестве ( \mathbb{R} ).

б) ( F(x) = 5x - \cos x ), ( f(x) = 5 + \sin x )

1. Вычислим производную ( F(x) ): [ F'(x) = \frac{d}{dx}(5x - \cos x) ] Применяя правило дифференцирования, получаем: [ F'(x) = 5 - (-\sin x) = 5 + \sin x ]

2. Сравним с ( f(x) ): Мы видим, что: [ F'(x) = 5 + \sin x = f(x) ]

Таким образом, ( F(x) = 5x - \cos x ) является первообразной для ( f(x) = 5 + \sin x ) на множестве ( \mathbb{R} ).

Заключение

В обоих случаях мы доказали, что заданные функции ( F ) являются первообразными для соответствующих функций ( f ) на множестве ( \mathbb{R} ), так как производные ( F'(x) ) совпадают с функциями ( f(x) ).