Доказать тождество sina+tga/1+cosa= tga

Чтобы доказать тождество (\frac{\sin a + \tan a}{1 + \cos a} = \tan a), будем работать с левой частью выражения и постараемся преобразовать её в правую часть.

Начнем с левой части:

[ \frac{\sin a + \tan a}{1 + \cos a} ]

Заметим, что тангенс можно выразить через синус и косинус:

[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ]

Подставим это выражение в левую часть:

[ \frac{\sin a + \frac{\sin a}{\cos a}}{1 + \cos a} ]

Теперь приведем к общему знаменателю в числителе:

[ = \frac{\sin a \cdot \cos a + \sin a}{\cos a} ]

Выносим (\sin a) за скобки в числителе:

[ = \frac{\sin a (\cos a + 1)}{\cos a} ]

Теперь запишем всю дробь:

[ = \frac{\sin a (\cos a + 1)}{\cos a \cdot (1 + \cos a)} ]

Сокращаем ((\cos a + 1)) в числителе и знаменателе:

[ = \frac{\sin a}{\cos a} ]

Это выражение равно (\tan a):

[ = \tan a ]

Таким образом, мы показали, что

[ \frac{\sin a + \tan a}{1 + \cos a} = \tan a ]

Следовательно, тождество доказано.

Для доказательства данного тождества можно воспользоваться формулой суммы тангенсов: tg(a+b) = (tg(a) + tg(b)) / (1 - tg(a) tg(b)). Подставляя a = b = a в данное тождество, получим tg(a+a) = (tg(a) + tg(a)) / (1 - tg(a) tg(a)), что равно tg(2a) = 2tg(a) / (1 - tg^2(a)). Таким образом, tg(a) + tg(a) / (1 + tg(a) * tg(a)) = 2tg(a) / (1 - tg^2(a)), откуда видно, что данное тождество верно.

Для доказательства данного тождества, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Давайте преобразуем левую часть выражения:

sin(a) + tan(a) / (1 + cos(a)) = sin(a) + sin(a) / cos(a) / (1 + cos(a)) = sin(a) + sin(a) / cos(a) 1 / (1 + cos(a)) = sin(a) + sin(a) 1 / (cos(a) (1 + cos(a))) = sin(a) + sin(a) / (cos(a) + cos(a)^2) = sin(a) + sin(a) / cos(a) 1 / (1 + cos(a)) = tan(a)

Таким образом, мы доказали, что левая часть выражения равна tan(a), что и требовалось доказать.