Доказать тождество: sina/1+cosa + 1+cosa/sina = 2/sina

Для того чтобы доказать тождество: [ \frac{\sin a}{1 + \cos a} + \frac{1 + \cos a}{\sin a} = \frac{2}{\sin a}, ] выполним следующие шаги:

1. Приведем оба слагаемых к общему знаменателю:

   Общим знаменателем для дробей (\frac{\sin a}{1 + \cos a}) и (\frac{1 + \cos a}{\sin a}) будет произведение ((1 + \cos a) \cdot \sin a). Перепишем обе дроби с общим знаменателем: [ \frac{\sin a}{1 + \cos a} \cdot \frac{\sin a}{\sin a} + \frac{1 + \cos a}{\sin a} \cdot \frac{1 + \cos a}{1 + \cos a} = \frac{\sin^2 a}{(1 + \cos a) \sin a} + \frac{(1 + \cos a)^2}{\sin a (1 + \cos a)} ]

2. Объединим дроби:

   [ \frac{\sin^2 a + (1 + \cos a)^2}{(1 + \cos a) \sin a} ]

3. Упрощаем числитель:

   Разложим числитель: [ \sin^2 a + (1 + \cos a)^2 = \sin^2 a + (1 + 2\cos a + \cos^2 a) ]

   Получим: [ \sin^2 a + 1 + 2\cos a + \cos^2 a ]

   Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством (\sin^2 a + \cos^2 a = 1): [ \sin^2 a + \cos^2 a + 1 + 2\cos a = 1 + 1 + 2\cos a = 2 + 2\cos a ]

4. Подставим полученное выражение в числитель:

   [ \frac{2 + 2\cos a}{(1 + \cos a) \sin a} ]

5. Вынесем общий множитель из числителя:

   [ \frac{2(1 + \cos a)}{(1 + \cos a) \sin a} ]

6. Сократим общий множитель (1 + \cos a):

   [ \frac{2(1 + \cos a)}{(1 + \cos a) \sin a} = \frac{2}{\sin a} ]

Таким образом, мы доказали, что: [ \frac{\sin a}{1 + \cos a} + \frac{1 + \cos a}{\sin a} = \frac{2}{\sin a} ]

Тождество доказано.

Для доказательства данного тождества, мы должны привести обе части к общему знаменателю и упростить выражение.

Начнем с левой части:

sina/(1+cosa) + (1+cosa)/sina = (sina^2 + 1 + cosa + cosa^2) / (sina * (1 + cosa))

Раскрываем скобки в числителе:

sina^2 + 1 + cosa + cosa^2 = 1 + sina^2 + cosa + cosa^2

Приводим подобные слагаемые:

1 + sina^2 + cosa^2 + cosa = 1 + 1 = 2

Теперь подставляем это значение обратно в исходное уравнение:

2 / (sina * (1 + cosa)) = 2 / sina

Таким образом, левая и правая части тождества равны, что и требовалось доказать.