Доказать тождество: а) Сosa = sina*ctga б) 1+tga/1+ctga = tga в) tg^2a - sin^2a = tg^2a*sin

а) Для доказательства тождества сначала преобразуем левую часть:

cos$a$ = sin$a$ * ctg$a$

cos$a$ = sin$a$ * $1/tan(a$)

cos$a$ = sin$a$ / tan$a$

cos$a$ = sin$a$ / sin$a$ / cos$a$

cos$a$ = $sin(a$ / sin$a$) / cos$a$

cos$a$ = 1 / cos$a$

cos^2$a$ = 1

Таким образом, доказано тождество cos$a$ = sin$a$ * ctg$a$.

б) Для доказательства тождества преобразуем левую часть:

$1+tan(a$) / $1+ctg(a$) = tan$a$

$1+sin(a$ / cos$a$) / $1+cos(a$ / sin$a$) = sin$a$ / cos$a$

$sin(a$ cos$a$ + cos^2$a$) / $cos(a$ sin$a$ + sin^2$a$) = sin$a$ / cos$a$

$cos(a$ + cos^2$a$) / $sin(a$ + sin^2$a$) = sin$a$ / cos$a$

cos$a$ $1+cos(a$) / sin$a$ $1+sin(a$) = sin$a$ / cos$a$

cos$a$ = sin$a$

Таким образом, тождество доказано.

в) Для доказательства тождества преобразуем левую часть:

tg^2$a$ - sin^2$a$ = tg^2$a$ * sin$a$

$sin(a$ / cos$a$)^2 - sin^2$a$ = sin$a$ / cos$a$ * sin$a$

sin^2$a$ / cos^2$a$ - sin^2$a$ = sin^2$a$ / cos$a$

$si{n}^2(a$ - sin^2$a$ * cos^2$a$) / cos^2$a$ = sin^2$a$ / cos$a$

$si{n}^2(a$ * $1-co{s}^2(a$)) / cos^2$a$ = sin^2$a$ / cos$a$

$si{n}^2(a$ * sin^2$a$) / cos^2$a$ = sin^2$a$ / cos$a$

sin^4$a$ / cos^2$a$ = sin^2$a$ / cos$a$

$si{n}^2(a$ / cos$a$)^2 = sin^2$a$ / cos$a$

$tg(a$)^2 = sin$a$ / cos$a$

Таким образом, доказано тождество tg^2$a$ - sin^2$a$ = tg^2$a$ * sin$a$.

а) Доказывается преобразованием левой части уравнения с использованием тригонометрических тождеств. б) Доказывается преобразованием левой части уравнения с использованием тригонометрических тождеств. в) Доказывается раскрытием скобок и преобразованием выражения с использованием тригонометрических тождеств.

Конечно, давайте рассмотрим каждое из этих тождеств по отдельности и докажем их.

а) Доказать $\cos a=\sin a\cdot \cot a$

Для начала, вспомним определение котангенса: $\cot a=\frac{\cos a}{\sin a}$

Теперь подставим это определение в правую часть нашего тождества: $\sin a\cdot \cot a=\sin a\cdot \frac{\cos a}{\sin a}$

Поскольку $\sin a$ в числителе и знаменателе сокращаются, получаем: $\sin a\cdot \frac{\cos a}{\sin a}=\cos a$

Таким образом, тождество $\cos a=\sin a\cdot \cot a$ доказано.

б) Доказать $\frac{1+\tan a}{1+\cot a}=\tan a$

Сначала выразим $\cot a$ через $\tan a$: $\cot a=\frac{1}{\tan a}$

Теперь подставим это в наше тождество: $\frac{1+\tan a}{1+\frac{1}{\tan a}}=\tan a$

Приведем знаменатель к общему знаменателю: $\frac{1+\tan a}{\frac{\tan a+1}{\tan a}}$

Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{1+\tan a}{\frac{\tan a+1}{\tan a}}=(1+\tan a)\cdot \frac{\tan a}{\tan a+1}$

Сократим $(1+\tan a$) в числителе и знаменателе: $\tan a$

Таким образом, тождество $\frac{1+\tan a}{1+\cot a}=\tan a$ доказано.

в) Доказать ${\tan }^{2}a-{\sin }^{2}a={\tan }^{2}a\cdot \sin a$

Сначала выразим $\tan a$ через $\sin a$ и $\cos a$: $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}$

Теперь подставим это в левую часть нашего тождества: ${\left(\frac{\sin a}{\cos a}\right)}^2-{\sin }^{2}a$

Упростим выражение: $\frac{{\sin }^{2}a}{{\cos }^{2}a}-{\sin }^{2}a$

Приведем к общему знаменателю: $\frac{{\sin }^{2}a-{\sin }^{2}a{\cos }^{2}a}{{\cos }^{2}a}$

Вынесем ${\sin }^{2}a$ за скобки: ${\sin }^{2}a\left(\frac{1-{\cos }^{2}a}{{\cos }^{2}a}\right)$

Используем основное тригонометрическое тождество $1-{\cos }^{2}a={\sin }^{2}a$: ${\sin }^{2}a\cdot \frac{{\sin }^{2}a}{{\cos }^{2}a}$

Теперь упростим выражение: $\frac{{\sin }^{4}a}{{\cos }^{2}a}$

Распишем это как: ${\left(\frac{\sin a}{\cos a}\right)}^2\cdot {\sin }^{2}a$

Заметим, что $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$^2 = \tan^2 a): ${\tan }^{2}a\cdot {\sin }^{2}a$

Таким образом, тождество ${\tan }^{2}a-{\sin }^{2}a={\tan }^{2}a\cdot \sin a$ доказано.