Доказать тождество: а) Сosa = sina*ctga б) 1+tga/1+ctga = tga в) tg^2a - sin^2a = tg^2a*sin

а) Для доказательства тождества сначала преобразуем левую часть:

cos(a) = sin(a) * ctg(a)

cos(a) = sin(a) * (1/tan(a))

cos(a) = sin(a) / tan(a)

cos(a) = sin(a) / sin(a) / cos(a)

cos(a) = (sin(a) / sin(a)) / cos(a)

cos(a) = 1 / cos(a)

cos^2(a) = 1

Таким образом, доказано тождество cos(a) = sin(a) * ctg(a).

б) Для доказательства тождества преобразуем левую часть:

(1 + tan(a)) / (1 + ctg(a)) = tan(a)

(1 + sin(a) / cos(a)) / (1 + cos(a) / sin(a)) = sin(a) / cos(a)

(sin(a) cos(a) + cos^2(a)) / (cos(a) sin(a) + sin^2(a)) = sin(a) / cos(a)

(cos(a) + cos^2(a)) / (sin(a) + sin^2(a)) = sin(a) / cos(a)

cos(a) (1 + cos(a)) / sin(a) (1 + sin(a)) = sin(a) / cos(a)

cos(a) = sin(a)

Таким образом, тождество доказано.

в) Для доказательства тождества преобразуем левую часть:

tg^2(a) - sin^2(a) = tg^2(a) * sin(a)

(sin(a) / cos(a))^2 - sin^2(a) = sin(a) / cos(a) * sin(a)

sin^2(a) / cos^2(a) - sin^2(a) = sin^2(a) / cos(a)

(sin^2(a) - sin^2(a) * cos^2(a)) / cos^2(a) = sin^2(a) / cos(a)

(sin^2(a) * (1 - cos^2(a))) / cos^2(a) = sin^2(a) / cos(a)

(sin^2(a) * sin^2(a)) / cos^2(a) = sin^2(a) / cos(a)

sin^4(a) / cos^2(a) = sin^2(a) / cos(a)

(sin^2(a) / cos(a))^2 = sin^2(a) / cos(a)

(tg(a))^2 = sin(a) / cos(a)

Таким образом, доказано тождество tg^2(a) - sin^2(a) = tg^2(a) * sin(a).

а) Доказывается преобразованием левой части уравнения с использованием тригонометрических тождеств. б) Доказывается преобразованием левой части уравнения с использованием тригонометрических тождеств. в) Доказывается раскрытием скобок и преобразованием выражения с использованием тригонометрических тождеств.

Конечно, давайте рассмотрим каждое из этих тождеств по отдельности и докажем их.

а) Доказать ( \cos a = \sin a \cdot \cot a )

Для начала, вспомним определение котангенса: [ \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} ]

Теперь подставим это определение в правую часть нашего тождества: [ \sin a \cdot \cot a = \sin a \cdot \frac{\cos a}{\sin a} ]

Поскольку ( \sin a ) в числителе и знаменателе сокращаются, получаем: [ \sin a \cdot \frac{\cos a}{\sin a} = \cos a ]

Таким образом, тождество ( \cos a = \sin a \cdot \cot a ) доказано.

б) Доказать ( \frac{1 + \tan a}{1 + \cot a} = \tan a )

Сначала выразим (\cot a) через (\tan a): [ \cot a = \frac{1}{\tan a} ]

Теперь подставим это в наше тождество: [ \frac{1 + \tan a}{1 + \frac{1}{\tan a}} = \tan a ]

Приведем знаменатель к общему знаменателю: [ \frac{1 + \tan a}{\frac{\tan a + 1}{\tan a}} ]

Теперь разделим числитель на знаменатель: [ \frac{1 + \tan a}{\frac{\tan a + 1}{\tan a}} = (1 + \tan a) \cdot \frac{\tan a}{\tan a + 1} ]

Сократим ((1 + \tan a)) в числителе и знаменателе: [ \tan a ]

Таким образом, тождество ( \frac{1 + \tan a}{1 + \cot a} = \tan a ) доказано.

в) Доказать ( \tan^2 a - \sin^2 a = \tan^2 a \cdot \sin a )

Сначала выразим (\tan a) через (\sin a) и (\cos a): [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ]

Теперь подставим это в левую часть нашего тождества: [ \left( \frac{\sin a}{\cos a} \right)^2 - \sin^2 a ]

Упростим выражение: [ \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} - \sin^2 a ]

Приведем к общему знаменателю: [ \frac{\sin^2 a - \sin^2 a \cos^2 a}{\cos^2 a} ]

Вынесем (\sin^2 a) за скобки: [ \sin^2 a \left( \frac{1 - \cos^2 a}{\cos^2 a} \right) ]

Используем основное тригонометрическое тождество ( 1 - \cos^2 a = \sin^2 a ): [ \sin^2 a \cdot \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} ]

Теперь упростим выражение: [ \frac{\sin^4 a}{\cos^2 a} ]

Распишем это как: [ \left( \frac{\sin a}{\cos a} \right)^2 \cdot \sin^2 a ]

Заметим, что (\left( \frac{\sin a}{\cos a} \right)^2 = \tan^2 a): [ \tan^2 a \cdot \sin^2 a ]

Таким образом, тождество ( \tan^2 a - \sin^2 a = \tan^2 a \cdot \sin a ) доказано.