Доказать тождество: а) Сosa = sina*ctga б) 1+tga/1+ctga = tga в) tg^2a - sin^2a = tg^2a*sin

Тематика Математика
Уровень 10 - 11 классы
тригонометрия доказательство тождество тригонометрические функции синус косинус тангенс котангенс
0

Доказать тождество:

а) Сosa = sina*ctga

б) 1+tga/1+ctga = tga

в) tg^2a - sin^2a = tg^2a*sin

avatar
задан 9 месяцев назад

3 Ответа

0

а) Для доказательства тождества сначала преобразуем левую часть:

cosa = sina * ctga

cosa = sina * 1/tan(a)

cosa = sina / tana

cosa = sina / sina / cosa

cosa = sin(a / sina) / cosa

cosa = 1 / cosa

cos^2a = 1

Таким образом, доказано тождество cosa = sina * ctga.

б) Для доказательства тождества преобразуем левую часть:

1+tan(a) / 1+ctg(a) = tana

1+sin(a / cosa) / 1+cos(a / sina) = sina / cosa

sin(a cosa + cos^2a) / cos(a sina + sin^2a) = sina / cosa

cos(a + cos^2a) / sin(a + sin^2a) = sina / cosa

cosa 1+cos(a) / sina 1+sin(a) = sina / cosa

cosa = sina

Таким образом, тождество доказано.

в) Для доказательства тождества преобразуем левую часть:

tg^2a - sin^2a = tg^2a * sina

sin(a / cosa)^2 - sin^2a = sina / cosa * sina

sin^2a / cos^2a - sin^2a = sin^2a / cosa

sin2(a - sin^2a * cos^2a) / cos^2a = sin^2a / cosa

sin2(a * 1cos2(a)) / cos^2a = sin^2a / cosa

sin2(a * sin^2a) / cos^2a = sin^2a / cosa

sin^4a / cos^2a = sin^2a / cosa

sin2(a / cosa)^2 = sin^2a / cosa

tg(a)^2 = sina / cosa

Таким образом, доказано тождество tg^2a - sin^2a = tg^2a * sina.

avatar
ответил 9 месяцев назад
0

а) Доказывается преобразованием левой части уравнения с использованием тригонометрических тождеств. б) Доказывается преобразованием левой части уравнения с использованием тригонометрических тождеств. в) Доказывается раскрытием скобок и преобразованием выражения с использованием тригонометрических тождеств.

avatar
ответил 9 месяцев назад
0

Конечно, давайте рассмотрим каждое из этих тождеств по отдельности и докажем их.

а) Доказать cosa=sinacota

Для начала, вспомним определение котангенса: cota=cosasina

Теперь подставим это определение в правую часть нашего тождества: sinacota=sinacosasina

Поскольку sina в числителе и знаменателе сокращаются, получаем: sinacosasina=cosa

Таким образом, тождество cosa=sinacota доказано.

б) Доказать 1+tana1+cota=tana

Сначала выразим cota через tana: cota=1tana

Теперь подставим это в наше тождество: 1+tana1+1tana=tana

Приведем знаменатель к общему знаменателю: 1+tanatana+1tana

Теперь разделим числитель на знаменатель: 1+tanatana+1tana=(1+tana)tanatana+1

Сократим (1+tana) в числителе и знаменателе: tana

Таким образом, тождество 1+tana1+cota=tana доказано.

в) Доказать tan2asin2a=tan2asina

Сначала выразим tana через sina и cosa: tana=sinacosa

Теперь подставим это в левую часть нашего тождества: (sinacosa)2sin2a

Упростим выражение: sin2acos2asin2a

Приведем к общему знаменателю: sin2asin2acos2acos2a

Вынесем sin2a за скобки: sin2a(1cos2acos2a)

Используем основное тригонометрическое тождество 1cos2a=sin2a: sin2asin2acos2a

Теперь упростим выражение: sin4acos2a

Распишем это как: (sinacosa)2sin2a

Заметим, что Missing or unrecognized delimiter for \right^2 = \tan^2 a): tan2asin2a

Таким образом, тождество tan2asin2a=tan2asina доказано.

avatar
ответил 9 месяцев назад

Ваш ответ