Доказать, что (2n^3 - 3n^2 + n) кратно 6 при любом целом n.

Для доказательства того, что выражение (2n^3 - 3n^2 + n) кратно 6 при любом целом n, необходимо показать, что это выражение делится на 6 без остатка при любом значении n.

Для начала выразим данное выражение в виде произведения: (2n^3 - 3n^2 + n) = n(2n^2 - 3n + 1).

Теперь заметим, что выражение 2n^2 - 3n + 1 может быть представлено в виде (2n^2 - 2n) - (n - 1), что равносильно 2n(n - 1) - (n - 1), или (2n - 1)(n - 1).

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде: n(2n - 1)(n - 1).

Теперь заметим, что среди произведений трех последовательных чисел всегда найдется число, кратное 3. Таким образом, одно из чисел n, (n - 1), или (2n - 1) кратно 3.

Также заметим, что среди двух последовательных чисел всегда найдется число, кратное 2. Таким образом, одно из чисел n или (n - 1) кратно 2.

Таким образом, выражение n(2n - 1)(n - 1) является произведением трех последовательных чисел, одно из которых кратно 3, а другое кратно 2, что означает, что оно кратно 6 при любом целом n.

Чтобы доказать, что выражение (2n^3 - 3n^2 + n) кратно 6 для любого целого (n), мы должны показать, что оно делится и на 2, и на 3 для любого (n).

1. Делимость на 2:

Рассмотрим выражение (2n^3 - 3n^2 + n).

• (2n^3) очевидно делится на 2, так как содержит множитель 2.
• (3n^2) делится на 2 тогда и только тогда, когда (n^2) чётно. Это верно, когда (n) чётно.
• (n) делится на 2, когда (n) чётно.

Теперь рассмотрим случаи:

• Если (n) чётное, то все три члена (2n^3), (-3n^2), и (n) чётные. Значит, их сумма чётна.
• Если (n) нечётное, то (n^3) нечётно, значит, (2n^3) чётно. (n^2) нечётно, значит, (-3n^2) нечётно (и отрицательно). (n) нечётно. Сумма нечётного и нечётного даёт чётное число, и прибавление чётного числа оставляет его чётным.

Следовательно, (2n^3 - 3n^2 + n) всегда чётно, то есть делится на 2.

2. Делимость на 3:

Для делимости на 3, рассмотрим (2n^3 - 3n^2 + n) по модулю 3.

• (n^3 \equiv n \pmod{3}) для любого (n). Это можно проверить, рассмотрев остатки при делении на 3: если (n \equiv 0 \pmod{3}), то (n^3 \equiv 0 \pmod{3}); если (n \equiv 1 \pmod{3}), то (n^3 \equiv 1 \pmod{3}); если (n \equiv 2 \pmod{3}), то (n^3 \equiv 8 \equiv 2 \pmod{3}).
• (2n^3 \equiv 2n \pmod{3}).
• (3n^2 \equiv 0 \pmod{3}) для любого (n), так как 3 — множитель.
• (n \equiv n \pmod{3}).

Теперь:

[2n^3 - 3n^2 + n \equiv 2n - 0 + n \equiv 3n \equiv 0 \pmod{3}.]

Следовательно, (2n^3 - 3n^2 + n) всегда делится на 3.

Поскольку выражение делится и на 2, и на 3, оно делится на наименьшее общее кратное чисел 2 и 3, то есть на 6.

Таким образом, выражение (2n^3 - 3n^2 + n) кратно 6 для любого целого (n).