Для каждой из следующих теорем сформулируйте обратное, противоположное и обратно противоположное утверждения...

Давайте разберем каждую из данных теорем и сформулируем для них обратное, противоположное и обратно противоположное утверждения. Затем определим, какие из них также являются теоремами.

Теорема а:

Исходная теорема: Если прямоугольник является квадратом, то его диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.

1. Обратное утверждение: Если диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны и делят углы пополам, то этот прямоугольник является квадратом.

   • Анализ: Это утверждение будет теоремой, поскольку если диагонали прямоугольника перпендикулярны и делят углы пополам, то все его стороны равны, что соответствует определению квадрата.

2. Противоположное утверждение: Если прямоугольник не является квадратом, то его диагонали не взаимно перпендикулярны или не делят углы пополам.

   • Анализ: Это утверждение тоже будет верным (теоремой), так как если прямоугольник не квадрат, то его диагонали не могут и быть перпендикулярными, и делить углы пополам одновременно.

3. Обратно противоположное утверждение: Если диагонали прямоугольника не взаимно перпендикулярны или не делят углы пополам, то этот прямоугольник не является квадратом.

   • Анализ: Это утверждение также будет теоремой, поскольку если хотя бы одно из условий не выполняется, то прямоугольник не может быть квадратом.

Теорема б:

Исходная теорема: Всякий параллелограмм с равными диагоналями есть прямоугольник или квадрат.

1. Обратное утверждение: Если параллелограмм является прямоугольником или квадратом, то его диагонали равны.

   • Анализ: Это утверждение будет теоремой, так как в прямоугольнике и квадрате диагонали действительно равны.

2. Противоположное утверждение: Если параллелограмм не является прямоугольником или квадратом, то его диагонали не равны.

   • Анализ: Это утверждение также будет верным (теоремой), поскольку если параллелограмм не является ни прямоугольником, ни квадратом, то его диагонали не могут быть равны.

3. Обратно противоположное утверждение: Если диагонали параллелограмма не равны, то он не является прямоугольником или квадратом.

   • Анализ: Это утверждение будет теоремой, так как неравенство диагоналей исключает возможность того, что параллелограмм является прямоугольником или квадратом.

Таким образом, для обоих заданных утверждений все сформулированные обратные, противоположные и обратно противоположные утверждения являются теоремами.

а)

• Обратное утверждение: Если диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны и делят углы пополам, то он является квадратом.
• Противоположное утверждение: Если прямоугольник не является квадратом, то его диагонали не взаимно перпендикулярны или не делят углы пополам.
• Обратно противоположное утверждение: Если прямоугольник не является квадратом, то его диагонали не взаимно перпендикулярны и не делят углы пополам.

б)

• Обратное утверждение: Если параллелограмм не является прямоугольником или квадратом, то его диагонали не равны.
• Противоположное утверждение: Если параллелограмм имеет равные диагонали, то он не является прямоугольником или квадратом.
• Обратно противоположное утверждение: Если параллелограмм имеет равные диагонали, то он не является прямоугольником и не является квадратом.

Теоремой будет только обратное утверждение из пункта а), так как оно является обратной теоремой к исходному утверждению.

а) Обратное утверждение: Если диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны и делят углы пополам, то прямоугольник является квадратом. Противоположное утверждение: Если прямоугольник не является квадратом, то его диагонали не взаимно перпендикулярны и не делят углы пополам. Обратно противоположное утверждение: Если диагонали прямоугольника не взаимно перпендикулярны и не делят углы пополам, то прямоугольник не является квадратом.

б) Обратное утверждение: Если параллелограмм не является прямоугольником или квадратом, то его диагонали не равны. Противоположное утверждение: Если параллелограмм имеет равные диагонали, то он является прямоугольником или квадратом. Обратно противоположное утверждение: Если параллелограмм не имеет равных диагоналей, то он не является прямоугольником или квадратом.

Теоремой будет являться только обратное утверждение из пункта а) и противоположное утверждение из пункта б).