"Даны векторы a{k; k }, b{0; -2} и c{-1; 0} . При каком значение k длина вектора b-a+c раавна 5"

Для того чтобы найти длину вектора b-a+c, нужно их сложить и затем найти длину получившегося вектора.

Сначала найдем вектор b-a+c: b-a = {0-ak; -2-k} = {-ak; -2-k} b-a+c = {-ak-1; -2-k}

Теперь найдем длину вектора b-a+c: ||b-a+c|| = sqrt((-ak-1)^2 + (-2-k)^2)

По условию задачи длина вектора b-a+c должна быть равна 5: sqrt((-ak-1)^2 + (-2-k)^2) = 5

Раскроем скобки и продолжим вычисления: sqrt(a^2k^2 + 2ak + 1 + 4 + 4k + k^2) = 5 sqrt(2a^2k^2 + 2ak + 2k + 5) = 5 2a^2k^2 + 2ak + 2k + 5 = 25 2a^2k^2 + 2ak + 2k - 20 = 0

Таким образом, уравнение 2a^2k^2 + 2ak + 2k - 20 = 0 должно иметь решение, при котором длина вектора b-a+c равна 5.

Для решения этой задачи сначала определим вектор ( \mathbf{b} - \mathbf{a} + \mathbf{c} ).

Даны векторы:

• ( \mathbf{a} = {k, k} )
• ( \mathbf{b} = {0, -2} )
• ( \mathbf{c} = {-1, 0} )

Теперь найдем вектор ( \mathbf{b} - \mathbf{a} + \mathbf{c} ):

[ \mathbf{b} - \mathbf{a} = {0, -2} - {k, k} = {0 - k, -2 - k} = {-k, -2 - k} ]

[ \mathbf{b} - \mathbf{a} + \mathbf{c} = {-k, -2 - k} + {-1, 0} = {-k - 1, -2 - k} ]

Теперь найдем длину вектора ( {-k - 1, -2 - k} ) и приравняем её к 5:

Длина вектора (\mathbf{v} = {x, y}) определяется как:

[ |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} ]

Поэтому:

[ \sqrt{(-k - 1)^2 + (-2 - k)^2} = 5 ]

Раскроем скобки и упростим:

[ \sqrt{(k + 1)^2 + (k + 2)^2} = 5 ]

Разложим и упростим выражения:

[ (k + 1)^2 = k^2 + 2k + 1 ]

[ (k + 2)^2 = k^2 + 4k + 4 ]

Подставим в уравнение:

[ \sqrt{(k^2 + 2k + 1) + (k^2 + 4k + 4)} = 5 ]

[ \sqrt{2k^2 + 6k + 5} = 5 ]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

[ 2k^2 + 6k + 5 = 25 ]

Перенесем 25 в левую часть уравнения:

[ 2k^2 + 6k + 5 - 25 = 0 ]

[ 2k^2 + 6k - 20 = 0 ]

Разделим все уравнение на 2:

[ k^2 + 3k - 10 = 0 ]

Теперь применим формулу для квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0):

[ k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Для нашего уравнения (a = 1), (b = 3), (c = -10):

[ k = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} ]

[ k = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} ]

[ k = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} ]

[ k = \frac{-3 \pm 7}{2} ]

Теперь найдем два значения (k):

1. (k = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2)
2. (k = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5)

Таким образом, длина вектора (\mathbf{b} - \mathbf{a} + \mathbf{c}) равна 5 при (k = 2) или (k = -5).