Дано: А(3;-1;3) В(3;-2;2) С(2;2;3) Д(1;2;2) Найти угол между прямыми АВ и СД

Для нахождения угла между прямыми АВ и СД, сначала найдем направляющие векторы этих прямых. Направляющий вектор прямой можно найти, вычтя координаты начальной точки из координат конечной точки.

1. Найдем направляющий вектор прямой АВ: [\vec{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z) = (3 - 3, -2 + 1, 2 - 3) = (0, -1, -1).]

2. Найдем направляющий вектор прямой СД: [\vec{CD} = (D_x - C_x, D_y - C_y, D_z - C_z) = (1 - 2, 2 - 2, 2 - 3) = (-1, 0, -1).]

Далее, чтобы найти угол между векторами (\vec{AB}) и (\vec{CD}), используем формулу для нахождения угла между двумя векторами через их скалярное произведение и длины (нормы) этих векторов: [\cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| |\vec{CD}|},] где (\vec{AB} \cdot \vec{CD}) — скалярное произведение векторов (\vec{AB}) и (\vec{CD}), а (|\vec{AB}|) и (|\vec{CD}|) — длины (нормы) векторов (\vec{AB}) и (\vec{CD}), соответственно.

1. Вычислим скалярное произведение (\vec{AB} \cdot \vec{CD}): [\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) = 0 + 0 + 1 = 1.]

2. Вычислим длины векторов (\vec{AB}) и (\vec{CD}): [|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2},] [|\vec{CD}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}.]

3. Теперь подставим значения в формулу для (\cos \theta): [\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}.]

Отсюда, угол (\theta) между прямыми АВ и СД: [\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ.]

Итак, угол между прямыми АВ и СД равен (60^\circ).

Для нахождения угла между прямыми необходимо найти направляющие векторы обеих прямых, а затем применить формулу для нахождения угла между векторами.

Направляющий вектор прямой AB можно найти как разность координат точек A и B: AB = B - A = (3 - 3; -2 - (-1); 2 - 3) = (0; -1; -1).

Направляющий вектор прямой CD можно найти как разность координат точек C и D: CD = D - C = (1 - 2; 2 - 2; 2 - 3) = (-1; 0; -1).

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов: ABCD = (0)(-1) + (-1)(0) + (-1)(-1) = 1.

Угол между прямыми AB и CD можно найти по формуле: cos(θ) = (ABCD) / (|AB| |CD|), где |AB| и |CD| - длины векторов AB и CD соответственно.

|AB| = √(0^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = √(0 + 1 + 1) = √2, |CD| = √((-1)^2 + 0^2 + (-1)^2) = √(1 + 0 + 1) = √2.

Таким образом, cos(θ) = 1 / (√2 * √2) = 1 / 2, откуда получаем, что угол между прямыми AB и CD равен arccos(1/2) ≈ 60 градусов.