Дана функция y=x^2-4x+4 a) исследуйте ф-ию на монотонность,если x<=2 б) найдите наибольшее и наименьшее...

Итак, у нас есть функция ( y = x^2 - 4x + 4 ). Давайте исследуем её на монотонность и найдём наибольшее и наименьшее значения на заданных промежутках.

а) Исследование функции на монотонность при ( x \leq 2 )

Для исследования монотонности функции, нам нужно найти её первую производную и исследовать знак этой производной на заданном промежутке.

1. Найдем первую производную функции: [ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 4) ] [ y' = 2x - 4 ]

2. Исследуем знак производной при ( x \leq 2 ):

   • Рассмотрим производную на всём промежутке ( (-\infty, 2] ).

   • Уравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: [ 2x - 4 = 0 ] [ x = 2 ]

   • Теперь рассмотрим знак производной на промежутке ( (-\infty, 2) ): [ y' = 2x - 4 ] Если ( x < 2 ), то ( 2x - 4 < 0 ). То есть производная отрицательна при ( x < 2 ).

Итак, на промежутке ( (-\infty, 2) ) производная отрицательна (( y' < 0 )), что означает, что функция убывает на этом промежутке. Таким образом, при ( x \leq 2 ) функция ( y = x^2 - 4x + 4 ) является убывающей.

б) Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке ([-1.5, 1.5])

Для нахождения экстремумов функции на заданном отрезке, нам нужно исследовать значения функции в концах отрезка и в критических точках, находящихся внутри этого отрезка.

1. Найдем критические точки:

   Мы уже нашли первую производную: [ y' = 2x - 4 ] Критические точки находятся, когда ( y' = 0 ): [ 2x - 4 = 0 ] [ x = 2 ]

   Однако, точка ( x = 2 ) не принадлежит отрезку ([-1.5, 1.5]), поэтому её не будем рассматривать.

2. Вычислим значение функции в концах отрезка:

   • При ( x = -1.5 ): [ y(-1.5) = (-1.5)^2 - 4(-1.5) + 4 ] [ y(-1.5) = 2.25 + 6 + 4 ] [ y(-1.5) = 12.25 ]

   • При ( x = 1.5 ): [ y(1.5) = (1.5)^2 - 4(1.5) + 4 ] [ y(1.5) = 2.25 - 6 + 4 ] [ y(1.5) = 0.25 ]

Таким образом, на отрезке ([-1.5, 1.5]) функция принимает наибольшее значение в точке ( x = -1.5 ), равное ( 12.25 ), и наименьшее значение в точке ( x = 1.5 ), равное ( 0.25 ).

Ответ:

a) Функция убывает на промежутке ( x \leq 2 ).

б) Наибольшее значение функции на отрезке ([-1.5, 1.5]) равно ( 12.25 ) (при ( x = -1.5 )), а наименьшее значение равно ( 0.25 ) (при ( x = 1.5 )).

a) Для исследования функции на монотонность при x=0 при x

а) Функция убывает на отрезке [-∞, 2]. б) Наименьшее значение функции на отрезке [-1.5, 1.5] равно 1, наибольшее значение равно 4.