Дан прямоугольный треугольник abc: (угол с =90).прямая bd перпендикулярна плоскости abc. ,точка k принадлежит...

Рассмотрим данную задачу. Нам известны следующие условия:

1. Треугольник ( \triangle ABC ) является прямоугольным, ( \angle C = 90^\circ ).
2. Прямая ( BD ) перпендикулярна плоскости треугольника ( ABC ).
3. Точка ( K ) принадлежит отрезку ( CD ).
4. Требуется найти угол между прямыми ( AC ) и ( BK ).

Решение задачи:

1. Задание координат для понимания пространственного положения.

Предположим, что треугольник ( ABC ) расположен в координатной плоскости ( Oxy ), а точка ( C ) находится в начале координат:
[ C(0, 0, 0), \quad A(a, 0, 0), \quad B(0, b, 0), ] где ( a > 0 ) и ( b > 0 ).

Прямая ( BD ) перпендикулярна плоскости ( ABC ), а точка ( D ) лежит на этой прямой. Тогда координаты точки ( D ) будут ( D(0, b, h) ), где ( h ) — высота точки ( D ) над плоскостью ( Oxy ).

2. Координаты точки ( K ).

Точка ( K ) принадлежит отрезку ( CD ). Отрезок ( CD ) лежит на прямой, соединяющей точки ( C(0, 0, 0) ) и ( D(0, b, h) ). Параметрически координаты точки ( K ) можно записать так: [ K(0, y_k, z_k), ] где ( y_k = t \cdot b ) и ( z_k = t \cdot h ), а ( t \in [0, 1] ) — параметр, характеризующий положение точки ( K ) на отрезке ( CD ). При ( t = 0 ) точка ( K ) совпадает с ( C ), а при ( t = 1 ) — с ( D ).

3. Векторное представление прямых ( AC ) и ( BK ).

• Прямая ( AC ):
  Вектор ( \overrightarrow{AC} ) можно записать как: [ \overrightarrow{AC} = (a - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (a, 0, 0). ]

• Прямая ( BK ):
  Вектор ( \overrightarrow{BK} ) соединяет точки ( B(0, b, 0) ) и ( K(0, y_k, z_k) ). Тогда: [ \overrightarrow{BK} = (0 - 0, y_k - b, z_k - 0) = (0, t \cdot b - b, t \cdot h). ] Упростим: [ \overrightarrow{BK} = (0, b(t - 1), ht). ]

4. Угол между прямыми.

Угол между двумя прямыми определяется через косинус угла между их направляющими векторами. Формула косинуса угла между векторами ( \mathbf{u} ) и ( \mathbf{v} ) имеет вид: [ \cos\varphi = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}|}, ] где ( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} ) — скалярное произведение векторов, а ( |\mathbf{u}| ) и ( |\mathbf{v}| ) — их длины.

• Для векторов ( \overrightarrow{AC} = (a, 0, 0) ) и ( \overrightarrow{BK} = (0, b(t-1), ht) ): [ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BK} = a \cdot 0 + 0 \cdot b(t-1) + 0 \cdot ht = 0. ]

Скалярное произведение равно нулю, значит, угол между векторами ( \overrightarrow{AC} ) и ( \overrightarrow{BK} ) равен ( 90^\circ ).

Ответ:

Угол между прямыми ( AC ) и ( BK ) равен ( 90^\circ ).

Для решения задачи необходимо проанализировать геометрическую ситуацию, в которой у нас есть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C и прямая BD, перпендикулярная плоскости треугольника. Точка K принадлежит отрезку CD, что также дает нам дополнительную информацию.

1. Определим координаты точек:

   • Пусть точка C находится в начале координат: ( C(0, 0, 0) ).
   • Точка A будет находиться на оси X: ( A(a, 0, 0) ).
   • Точка B будет находиться на оси Y: ( B(0, b, 0) ).
   • Точка D будет находиться над точкой C на оси Z: ( D(0, 0, h) ), где ( h ) — высота.

2. Найдем координаты точки K: Точка K лежит на отрезке CD, поэтому её координаты можно выразить как: [ K(0, 0, k) \quad (0 \leq k \leq h) ]

3. Векторы AC и BK:

   • Вектор ( \overrightarrow{AC} ) можно представить как: [ \overrightarrow{AC} = C - A = (0 - a, 0 - 0, 0 - 0) = (-a, 0, 0) ]
   • Вектор ( \overrightarrow{BK} ) можно представить как: [ \overrightarrow{BK} = K - B = (0 - 0, 0 - b, k - 0) = (0, -b, k) ]

4. Найдем угол между векторами: Угол ( \theta ) между векторами можно найти с помощью скалярного произведения: [ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BK}}{|\overrightarrow{AC}| |\overrightarrow{BK}|} ]

   Сначала вычислим скалярное произведение ( \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BK} ): [ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BK} = (-a) \cdot 0 + 0 \cdot (-b) + 0 \cdot k = 0 ]

   Теперь найдем длины векторов: [ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + 0^2} = a, ] [ |\overrightarrow{BK}| = \sqrt{0^2 + (-b)^2 + k^2} = \sqrt{b^2 + k^2}. ]

   Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла: [ \cos(\theta) = \frac{0}{a \cdot \sqrt{b^2 + k^2}} = 0. ]

5. Решение уравнения: Если ( \cos(\theta) = 0 ), это означает, что угол ( \theta = 90^\circ ).

Таким образом, угол между прямыми AC и BK равен ( 90^\circ ).

В данном случае угол между прямыми ( ac ) и ( bk ) можно найти, используя свойства перпендикулярных прямых и треугольников.

Поскольку прямая ( bd ) перпендикулярна плоскости ( abc ), то она образует прямой угол с любой прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, угол между прямыми ( ac ) и ( bk ) можно определить как угол между прямой ( ac ) и проекцией прямой ( bk ) на плоскость ( abc ).

Если точка ( k ) принадлежит ( cd ), и ( cd ) параллельно ( ab ), то прямые ( ac ) и ( bk ) будут пересекаться под углом, равным углу ( a ) (или ( b ), в зависимости от их расположения).

Таким образом, угол между прямыми ( ac ) и ( bk ) будет равен углу ( a ) или ( b ) в зависимости от конкретного расположения точки ( k ).