Cos^2x+3sin x =3. (Решить тригонометрическое уравнения)

Для решения данного тригонометрического уравнения cos^2x + 3sinx = 3 необходимо воспользоваться тригонометрическими тождествами. Используя тождество cos^2x + sin^2x = 1, можем заменить cos^2x на 1 - sin^2x. Получим уравнение: 1 - sin^2x + 3sinx = 3 Переносим все члены уравнения на одну сторону: -sin^2x + 3sinx - 2 = 0 Сделаем замену sinx = t: -t^2 + 3t - 2 = 0 Найдем корни квадратного уравнения: D = 3^2 - 4(-1)(-2) = 9 - 8 = 1 t1 = (3 + √1) / 2 = 2 t2 = (3 - √1) / 2 = 1 Теперь найдем значения sinx: sinx1 = 2 sinx2 = 1 Так как значение синуса не может превышать 1, то sinx1 = 2 не подходит. Итак, sinx = 1. Теперь найдем cosx: cos^2x = 3 - 3sinx = 3 - 3 = 0 cosx = 0 Итак, решение уравнения: x = π/2 + 2πn, где n - целое число.

Давайте решим тригонометрическое уравнение ( \cos^2 x + 3 \sin x = 3 ).

1. Преобразуем уравнение:

   Используя основное тригонометрическое тождество ( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x ), перепишем уравнение:

   [ 1 - \sin^2 x + 3 \sin x = 3 ]

   Упростим:

   [ -\sin^2 x + 3 \sin x + 1 = 3 ]

   Переносим 3 на другую сторону:

   [ -\sin^2 x + 3 \sin x + 1 - 3 = 0 ]

   Упрощаем:

   [ -\sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0 ]

2. Решим квадратное уравнение:

   Заменим (\sin x = t). Тогда уравнение принимает вид:

   [ -t^2 + 3t - 2 = 0 ]

   Умножим все уравнение на (-1) для удобства:

   [ t^2 - 3t + 2 = 0 ]

   Это квадратное уравнение решается с помощью дискриминанта (D):

   [ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 ]

   Находим корни:

   [ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 1}{2} ]

   [ t_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2, \quad t_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 ]

3. Рассмотрим возможные значения для (\sin x):

   Поскольку (|\sin x| \leq 1), значение (\sin x = 2) недопустимо. Таким образом, остаётся только:

   [ \sin x = 1 ]

4. Найдём решение:

   (\sin x = 1) соответствует углу:

   [ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, решение уравнения ( \cos^2 x + 3 \sin x = 3 ) заключается в:

[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

cos^2x + 3sin x = 3 1 - sin^2x + 3sin x = 3 -sin^2x + 3sin x - 2 = 0 sin^2x - 3sin x + 2 = 0 (sin x - 1)(sin x - 2) = 0 sin x = 1 или sin x = 2 x = π/2 + 2πk, x = -π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z