Cos^2x+3sin x =3. $Решитьтригонометрическоеуравнения$

Для решения данного тригонометрического уравнения cos^2x + 3sinx = 3 необходимо воспользоваться тригонометрическими тождествами. Используя тождество cos^2x + sin^2x = 1, можем заменить cos^2x на 1 - sin^2x. Получим уравнение: 1 - sin^2x + 3sinx = 3 Переносим все члены уравнения на одну сторону: -sin^2x + 3sinx - 2 = 0 Сделаем замену sinx = t: -t^2 + 3t - 2 = 0 Найдем корни квадратного уравнения: D = 3^2 - 4$-1$$-2$ = 9 - 8 = 1 t1 = $3+\surd 1$ / 2 = 2 t2 = $3-\surd 1$ / 2 = 1 Теперь найдем значения sinx: sinx1 = 2 sinx2 = 1 Так как значение синуса не может превышать 1, то sinx1 = 2 не подходит. Итак, sinx = 1. Теперь найдем cosx: cos^2x = 3 - 3sinx = 3 - 3 = 0 cosx = 0 Итак, решение уравнения: x = π/2 + 2πn, где n - целое число.

Давайте решим тригонометрическое уравнение ${\cos }^{2}x+3\sin x=3$.

1. Преобразуем уравнение:

   Используя основное тригонометрическое тождество ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$, перепишем уравнение:

   $1-{\sin }^{2}x+3\sin x=3$

   Упростим:

   $-{\sin }^{2}x+3\sin x+1=3$

   Переносим 3 на другую сторону:

   $-{\sin }^{2}x+3\sin x+1-3=0$

   Упрощаем:

   $-{\sin }^{2}x+3\sin x-2=0$

2. Решим квадратное уравнение:

   Заменим $\sin x=t$. Тогда уравнение принимает вид:

   $-t^2+3t-2=0$

   Умножим все уравнение на $-1$ для удобства:

   $t^2-3t+2=0$

   Это квадратное уравнение решается с помощью дискриминанта $D$:

   $D=b^2-4ac=3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$

   Находим корни:

   $t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{3\pm 1}{2}$

   $t_1=\frac{3+1}{2}=2,t_2=\frac{3-1}{2}=1$

3. Рассмотрим возможные значения для $\sin x$:

   Поскольку $|\sin x|\le 1$, значение $\sin x=2$ недопустимо. Таким образом, остаётся только:

   $\sin x=1$

4. Найдём решение:

   $\sin x=1$ соответствует углу:

   $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Таким образом, решение уравнения ${\cos }^{2}x+3\sin x=3$ заключается в:

$x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

cos^2x + 3sin x = 3 1 - sin^2x + 3sin x = 3 -sin^2x + 3sin x - 2 = 0 sin^2x - 3sin x + 2 = 0 $sinx-1$$sinx-2$ = 0 sin x = 1 или sin x = 2 x = π/2 + 2πk, x = -π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z