Число 24 представьте в виду суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел...

Чтобы минимизировать сумму квадратов двух неотрицательных слагаемых, которые в сумме дают 24, нужно использовать метод, связанный с равенством Парето. Это задача оптимизации, и мы можем решить её с помощью производной.

Допустим, два слагаемых — это числа ( x ) и ( y ), такие что ( x + y = 24 ). Нам нужно минимизировать функцию:

[ f(x, y) = x^2 + y^2. ]

Подставим ( y = 24 - x ) в функцию:

[ f(x) = x^2 + (24 - x)^2. ]

Раскроем скобки:

[ f(x) = x^2 + (24 - x)^2 = x^2 + 576 - 48x + x^2 = 2x^2 - 48x + 576. ]

Теперь найдем производную этой функции по ( x ):

[ f'(x) = 4x - 48. ]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

[ 4x - 48 = 0 ]

[ 4x = 48 ]

[ x = 12. ]

Таким образом, ( x = 12 ) и, следовательно, ( y = 24 - x = 12 ).

Теперь проверим, что это действительно минимум. Вторая производная функции:

[ f''(x) = 4. ]

Так как вторая производная положительна, это указывает на то, что в точке ( x = 12 ) функция имеет минимум.

Таким образом, числа, которые минимизируют сумму квадратов при условии, что их сумма равна 24, — это ( x = 12 ) и ( y = 12 ). Сумма квадратов в этом случае будет:

[ 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288. ]

Следовательно, 24 можно представить как сумму двух неотрицательных слагаемых 12 и 12, чтобы минимизировать сумму их квадратов.

Для нахождения минимальной суммы квадратов двух неотрицательных чисел, сумма которых равна 24, можно воспользоваться методом математической оптимизации.

Представим два неотрицательных числа как x и y, так что x + y = 24. Нам нужно минимизировать сумму их квадратов, то есть найти минимум функции f(x, y) = x^2 + y^2 при условии x + y = 24.

Сначала выразим y через x из условия x + y = 24: y = 24 - x. Затем подставим это выражение в функцию f(x, y):

f(x) = x^2 + (24 - x)^2 = x^2 + 576 - 48x + x^2 = 2x^2 - 48x + 576

Теперь найдем минимум функции f(x) с помощью производной:

f'(x) = 4x - 48

Приравниваем производную к нулю и находим x:

4x - 48 = 0 4x = 48 x = 12

Таким образом, одно из чисел равно 12. Подставим это значение обратно в условие x + y = 24:

12 + y = 24 y = 12

Итак, два неотрицательных числа равны 12 и 12, и сумма их квадратов будет минимальной.