а) Число 8 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на другое слогаемое было наибольшим. б) Число 12 представьте виде суммы двух неорицательных слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на удовоенное другое слагаемое было наибольшим.
а) Чтобы найти наибольшее произведение куба одного из слагаемых на другое, нужно разложить число 8 на два слагаемых так, чтобы их сумма была равна 8. Пусть одно слагаемое равно x, тогда второе слагаемое будет равно 8 - x. Тогда произведение куба одного из них на другое будет равно x^3 (8 - x). Для нахождения максимума данного произведения найдем производную и приравняем ее к нулю: (x^3 (8 - x))' = 3x^2 (8 - x) - x^3 = 0. Решив данное уравнение, мы найдем, что x = 2. Таким образом, наибольшее произведение куба одного из слагаемых на другое будет равно 2^3 6 = 48.
б) Аналогично предыдущему пункту, разложим число 12 на два слагаемых x и y, где y = 12 - x. Тогда произведение куба одного из них на удвоенное другое слагаемое будет равно x^3 2y = x^3 2(12 - x). Для нахождения максимума данного произведения найдем производную и приравняем ее к нулю: (x^3 2(12 - x))' = 3x^2 2(12 - x) - 2x^3 = 0. Решив данное уравнение, мы найдем, что x = 4. Таким образом, наибольшее произведение куба одного из слагаемых на удвоенное другое будет равно 4^3 2 8 = 256.
а) Чтобы решить эту задачу, представим одно из слагаемых как ( x ), а другое соответственно будет ( 8 - x ). Нам нужно максимизировать функцию ( f(x) = x^3 (8 - x) ).
Раскроем и упростим выражение: [ f(x) = x^3 (8 - x) = 8x^3 - x^4. ]
Далее найдем производную функции ( f(x) ) и приравняем её к нулю для определения критических точек: [ f'(x) = 24x^2 - 4x^3 = 4x^2(6 - x). ] [ 4x^2(6 - x) = 0. ]
Решениями уравнения являются ( x = 0 ) и ( x = 6 ). Так как функция ( f(x) ) определена на отрезке ([0, 8]), мы должны сравнить значения ( f(x) ) в точках ( x = 0 ), ( x = 6 ) и ( x = 8 ): [ f(0) = 0, ] [ f(6) = 6^3 \times 2 = 432, ] [ f(8) = 0. ]
Следовательно, максимальное значение ( f(x) = 432 ) достигается при ( x = 6 ), а другое слагаемое будет ( 8 - 6 = 2 ). Таким образом, число 8 следует представить как сумму 6 и 2.
б) Аналогично пункту а), пусть одно из слагаемых равно ( x ), тогда другое слагаемое будет ( 12 - x ). Нужно максимизировать функцию ( g(x) = x^3 \cdot 2(12 - x) ): [ g(x) = 2x^3(12 - x) = 24x^3 - 2x^4. ]
Производная этой функции: [ g'(x) = 72x^2 - 8x^3 = 8x^2(9 - x). ] [ 8x^2(9 - x) = 0. ]
Решения уравнения: ( x = 0 ) и ( x = 9 ). Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: [ g(0) = 0, ] [ g(9) = 9^3 \times 6 = 4374, ] [ g(12) = 0. ]
Максимальное значение ( g(x) = 4374 ) достигается при ( x = 9 ), а другое слагаемое будет ( 12 - 9 = 3 ). Таким образом, число 12 следует представить как сумму 9 и 3.
а) 8 = 2 + 6, произведение куба числа 2 на число 6 равно 8216 = 1728, что является наибольшим. б) 12 = 3 + 9, произведение куба числа 3 на число 18 равно 2718 = 486, что является наибольшим.
