5 корней из 2 * sin 7пи/8 * cos 7пи/8

Решение: 5 корней из 2 sin(7π/8) cos(7π/8) равны 5.

Для решения выражения (5\sqrt{2} \cdot \sin\left(\frac{7\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{7\pi}{8}\right)), давайте разберем его по частям.

Шаг 1: Упрощение тригонометрического произведения

Используем формулу для произведения синуса и косинуса, которая выглядит следующим образом: [ \sin A \cdot \cos A = \frac{1}{2} \sin(2A) ]

Подставим (A = \frac{7\pi}{8}): [ \sin\left(\frac{7\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{7\pi}{8}\right) = \frac{1}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{7\pi}{8}\right) = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) ]

Шаг 2: Вычисление (\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right))

Угол (\frac{7\pi}{4}) эквивалентен углу (-\frac{\pi}{4}) в стандартном тригонометрическом круге, так как (\frac{7\pi}{4} - 2\pi = -\frac{\pi}{4}).

Значение (\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)) равно (-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)), так как синус - нечётная функция. Мы знаем, что (\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}), следовательно: [ \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

Шаг 3: Подстановка обратно в выражение

Теперь, подставим значение синуса обратно: [ \sin\left(\frac{7\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{7\pi}{8}\right) = \frac{1}{2} \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{4} ]

Шаг 4: Умножение на (5\sqrt{2})

Теперь умножим это значение на (5\sqrt{2}): [ 5\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 5 \cdot \left(-\frac{2}{4}\right) = 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{5}{2} ]

Ответ

Таким образом, значение исходного выражения равно (-\frac{5}{2}).

Для решения данного выражения нам необходимо использовать формулы тригонометрии. Имеем уравнение: 5√2 sin(7π/8) cos(7π/8). По формулам половинного угла sin(2α) = 2sin(α)cos(α), можем заметить, что sin(7π/8) cos(7π/8) = 1/2sin(7π/4), что эквивалентно sin(π/4) = √2/2. Таким образом, после замены получаем: 5√2 √2/2 = 5. Таким образом, ответ на данный вопрос равен 5.