2)В спец. роте 75 солдат пять офицеров и восемь сержантов.Необходимо выделить на охрану объектов восемь...

Чтобы решить задачу, нужно определить, сколько способов можно выбрать указанные группы людей для наряда. Здесь используется комбинаторика, а именно подсчитывается количество сочетаний.

Дано:

• Всего 75 солдат. Надо выбрать 8 солдат.
• Всего 8 сержантов. Надо выбрать 2 сержантов.
• Всего 5 офицеров. Надо выбрать 1 офицера.

Формула сочетаний:

Для нахождения количества способов выбрать ( k ) объектов из ( n ) используется формула сочетаний: [ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ] где ( n! ) — факториал числа ( n ), ( k! ) — факториал числа ( k ), а ( (n-k)! ) — факториал разницы ( n-k ).

Теперь посчитаем каждую часть отдельно.

1. Выбор 8 солдат из 75:

[ C(75, 8) = \frac{75!}{8! \cdot (75-8)!} = \frac{75!}{8! \cdot 67!} ] Сокращая факториалы, оставляем только нужные множители: [ C(75, 8) = \frac{75 \cdot 74 \cdot 73 \cdot 72 \cdot 71 \cdot 70 \cdot 69 \cdot 68}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} ] Выполним вычисления: [ C(75, 8) = \frac{172594472425600}{40320} = 42875 \cdot 1001 = 18608789475 ]

2. Выбор 2 сержантов из 8:

[ C(8, 2) = \frac{8!}{2! \cdot (8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 ]

3. Выбор 1 офицера из 5:

[ C(5, 1) = \frac{5!}{1! \cdot (5-1)!} = \frac{5}{1} = 5 ]

Общее количество вариантов:

Так как выбор солдат, сержантов и офицеров независим, общее число вариантов равно произведению всех сочетаний: [ \text{Общее количество вариантов} = C(75, 8) \cdot C(8, 2) \cdot C(5, 1) ] Подставим числа: [ \text{Общее количество вариантов} = 18608789475 \cdot 28 \cdot 5 ] Сначала умножим ( 18608789475 ) на ( 28 ): [ 18608789475 \cdot 28 = 521045105300 ] Теперь умножим результат на ( 5 ): [ 521045105300 \cdot 5 = 2605225526500 ]

Ответ:

Общее количество вариантов составить наряд равно 2,605,225,526,500.

Чтобы найти количество вариантов, с помощью которых можно составить наряд из 8 солдат, 2 сержантов и 1 офицера, нужно использовать комбинаторику. Мы будем использовать формулу для сочетаний, которая обозначается как ( C(n, k) ) и вычисляется по формуле:

[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

где ( n ) — общее количество элементов, а ( k ) — количество элементов, которые нужно выбрать.

1. Выбор солдат: У нас есть 75 солдат, и мы должны выбрать 8. Количество способов сделать это:

[ C(75, 8) = \frac{75!}{8!(75-8)!} = \frac{75!}{8! \cdot 67!} ]

1. Выбор сержантов: У нас есть 8 сержантов, и мы должны выбрать 2. Количество способов сделать это:

[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} ]

1. Выбор офицера: У нас есть 5 офицеров, и мы должны выбрать 1. Количество способов сделать это:

[ C(5, 1) = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1! \cdot 4!} ]

Теперь мы можем вычислить каждое из сочетаний:

• Для солдат:

[ C(75, 8) = \frac{75 \times 74 \times 73 \times 72 \times 71 \times 70 \times 69 \times 68}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1,246,141,202 ]

• Для сержантов:

[ C(8, 2) = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 ]

• Для офицеров:

[ C(5, 1) = 5 ]

Теперь, чтобы найти общее количество вариантов для формирования наряда, нужно перемножить все эти значения:

[ \text{Общее количество вариантов} = C(75, 8) \times C(8, 2) \times C(5, 1) ]

Подставляем значения:

[ \text{Общее количество вариантов} = 1,246,141,202 \times 28 \times 5 ]

Выполним умножение:

[ 1,246,141,202 \times 28 = 34,894,000,656 ]

[ 34,894,000,656 \times 5 = 174,470,003,280 ]

Итак, общее количество вариантов составить наряд из 8 солдат, 2 сержантов и 1 офицера составляет 174,470,003,280.