1)У=3х^3-9х-определить интеграл возрастания и убывания 2)f(x)=12х-3х^2-2х^3 найти точки экстремума 3)f(x)=x^3+3/x найти наибольшее значение на отрезке [0,5;2] 4)построить график функции у=х^4-2х^2+2
1)У=3х^3-9х-определить интеграл возрастания и убывания 2)f(x)=12х-3х^2-2х^3 найти точки экстремума 3)f(x)=x^3+3/x найти наибольшее значение на отрезке [0,5;2] 4)построить график функции у=х^4-2х^2+2
1) Для нахождения интегралов возрастания и убывания функции Y=3x^3-9x, нужно найти производную данной функции. Производная функции Y по x равна 9x^2-9. Далее, решаем уравнение 9x^2-9=0 и находим точки экстремума: x=1 и x=-1. Подставляя эти точки во вторую производную, можно определить, что x=1 - точка локального минимума, а x=-1 - точка локального максимума. Таким образом, на интервале (-бесконечность; -1) функция убывает, на интервале (-1; 1) возрастает, на интервале (1; +бесконечность) снова убывает.
2) Для нахождения точек экстремума функции f(x)=12x-3x^2-2x^3 необходимо найти производную данной функции. Производная функции f по x равна -6x^2-6x+12. Решая уравнение -6x^2-6x+12=0, находим точку экстремума x=-1. Подставив эту точку во вторую производную, определяем, что это точка локального максимума.
3) Для нахождения наибольшего значения функции f(x)=x^3+3/x на отрезке [0,5;2] необходимо найти производную этой функции. Производная функции f по x равна 3x^2-3/x^2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: 3x^2-3/x^2=0, x=1. Затем исследуем функцию на экстремумы, подставляя найденную точку во вторую производную. После этого, проверяем значения в крайних точках отрезка [0,5;2] и находим наибольшее значение.
4) Для построения графика функции у=x^4-2x^2+2 строим координатную плоскость и отмечаем точки, удовлетворяющие данному уравнению. График данной функции будет представлять собой параболу, с вершиной в точке (0,2) и ветвями, направленными вверх.
1) Интеграл возрастания функции Y=3x^3-9x - отрезки возрастания: (-бесконечность, -1) и (1, +бесконечность); отрезки убывания: (-1, 1). 2) Точки экстремума функции f(x)=12x-3x^2-2x^3 - точка максимума: (-1, 17); точка минимума: (1, 7). 3) Наибольшее значение функции f(x)=x^3+3/x на отрезке [0,5;2] - 11. 4) График функции y=x^4-2x^2+2 - парабола с вершиной в точке (0,2) и открыт вверх.
Конечно, давайте подробно разберем все вопросы.
Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции, найдем первую производную и выясним, где она положительна и где отрицательна:
[ y = 3x^3 - 9x ] [ y' = \frac{d}{dx}(3x^3 - 9x) = 9x^2 - 9 ] [ y' = 9(x^2 - 1) = 9(x - 1)(x + 1) ]
Теперь найдем критические точки, решив уравнение ( y' = 0 ):
[ 9(x - 1)(x + 1) = 0 ] [ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -1 ]
Исследуем знаки производной на интервалах, определяемых этими критическими точками: ( (-\infty, -1) ), ( (-1, 1) ) и ( (1, \infty) ).
На интервале ( (-\infty, -1) ): Выберем точку ( x = -2 ): [ y'(-2) = 9((-2) - 1)((-2) + 1) = 9(-3)(-1) = 27 ] Значит, производная положительна, и функция возрастает на этом интервале.
На интервале ( (-1, 1) ): Выберем точку ( x = 0 ): [ y'(0) = 9(0 - 1)(0 + 1) = 9(-1)(1) = -9 ] Значит, производная отрицательна, и функция убывает на этом интервале.
На интервале ( (1, \infty) ): Выберем точку ( x = 2 ): [ y'(2) = 9((2) - 1)((2) + 1) = 9(1)(3) = 27 ] Значит, производная положительна, и функция возрастает на этом интервале.
Интервалы возрастания: ( (-\infty, -1) \cup (1, \infty) )
Интервалы убывания: ( (-1, 1) )
Для нахождения точек экстремума найдем первую производную и решим уравнение ( f'(x) = 0 ):
[ f(x) = 12x - 3x^2 - 2x^3 ] [ f'(x) = 12 - 6x - 6x^2 ]
Решим уравнение ( f'(x) = 0 ):
[ 12 - 6x - 6x^2 = 0 ] [ 6(2 - x - x^2) = 0 ] [ 2 - x - x^2 = 0 ]
Решим квадратное уравнение:
[ x^2 + x - 2 = 0 ] [ (x + 2)(x - 1) = 0 ] [ x = -2 \quad \text{или} \quad x = 1 ]
Теперь определим, являются ли эти точки максимумами или минимумами, исследовав знак второй производной ( f''(x) ):
[ f'(x) = 12 - 6x - 6x^2 ] [ f''(x) = -6 - 12x ]
В точке ( x = -2 ): [ f''(-2) = -6 - 12(-2) = -6 + 24 = 18 ] Поскольку ( f''(-2) > 0 ), точка ( x = -2 ) является точкой минимума.
В точке ( x = 1 ): [ f''(1) = -6 - 12(1) = -6 - 12 = -18 ] Поскольку ( f''(1) < 0 ), точка ( x = 1 ) является точкой максимума.
Точка минимума: ( x = -2 )
Точка максимума: ( x = 1 )
Для поиска наибольшего значения функции на данном отрезке исследуем значения функции на границах отрезка и в критических точках внутри этого отрезка.
Найдем первую производную:
[ f(x) = x^3 + \frac{3}{x} ] [ f'(x) = 3x^2 - \frac{3}{x^2} ]
Решим уравнение ( f'(x) = 0 ):
[ 3x^2 - \frac{3}{x^2} = 0 ] [ 3x^4 - 3 = 0 ] [ x^4 = 1 ] [ x = \pm 1 ]
Так как рассматриваемый отрезок ([0.5, 2]), нас интересует только ( x = 1 ).
Теперь найдем значение функции на границах отрезка и в критической точке:
Сравнивая значения, видим, что наибольшее значение функции на отрезке ([0.5, 2]) равно 9.5 при ( x = 2 ).
Наибольшее значение функции: ( 9.5 )
Для построения графика функции найдем основные характеристики: точки пересечения с осями, экстремумы и поведение на бесконечности.
Функция:
[ y = x^4 - 2x^2 + 2 ]
Первая производная:
[ y' = 4x^3 - 4x ] [ y' = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1) ]
Найдем критические точки:
[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 ] [ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 ]
Определим знаки первой производной на интервалах ((-\infty, -1)), ((-1, 0)), ((0, 1)) и ((1, \infty)):
Вторая производная:
[ y'' = 12x^2 - 4 ]
Определим типы экстремумов:
Найдем значения функции в критических точках:
Теперь можно построить график, учитывая основные точки и интервалы возрастания/убывания. На бесконечности функция ( y = x^4 - 2x^2 + 2 ) уходит вверх, так как старший член ( x^4 ) доминирует.
