1)Объясните, какое тело называется цилиндром. Выведите формулу площади полной поверхности цилиндра. 2)Высота конуса равна 6 см., а образующая наклонена к плоскости основания под углом в 30о. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60о. 3)Радиус шара равен R. Найдите площадь поверхности вписанного в шар куба.
1) Цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями (основаниями), и боковой поверхностью, состоящей из всех прямых, соединяющих соответствующие точки этих плоскостей. Формула площади полной поверхности цилиндра выглядит следующим образом: S = 2πr(h + r), где r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.
2) Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60 градусов, равна S = πR^2 * sin^2(30), где R - радиус основания конуса.
3) Площадь поверхности вписанного в шар куба равна 6R^2. Для доказательства этого факта можно воспользоваться тем, что диагональ куба равна диаметру вписанного шара, а значит, равна 2R. Тогда сторона куба будет равна R√3, и площадь его поверхности равна 6R^2.
1) Цилиндр — это геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Цилиндр состоит из двух параллельных оснований, которые являются кругами, и боковой поверхности, которая представляет собой прямоугольник, свернутый в цилиндрическую форму.
Формула площади полной поверхности цилиндра включает в себя площадь двух оснований и площадь боковой поверхности. Пусть ( r ) — радиус основания цилиндра, ( h ) — высота цилиндра. Тогда:
Следовательно, полная площадь поверхности цилиндра вычисляется по формуле: [ S = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r + h). ]
2) Для решения этой задачи необходимо найти площадь сечения конуса, образованного плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60°.
Пусть ( l ) — длина образующей конуса. Из условия известно, что высота ( h = 6 ) см и угол между высотой и образующей составляет 30°. Используя тригонометрическое соотношение, находим ( l ):
[ \cos 30^\circ = \frac{h}{l} \implies l = \frac{h}{\cos 30^\circ} = \frac{6}{\sqrt{3}/2} = 4\sqrt{3} \text{ см}. ]
Поскольку сечение, проходящее через две образующие, является равнобедренным треугольником, основание которого равно диаметру основания конуса, а боковые стороны равны ( l ). Угол между образующими — 60°, следовательно, треугольник является равносторонним.
Площадь равностороннего треугольника со стороной ( l ) может быть найдена по формуле: [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (4\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 48 = 12\sqrt{3} \text{ см}^2. ]
3) Для нахождения площади поверхности куба, вписанного в шар радиуса ( R ), необходимо выразить сторону куба через радиус шара.
Вписанный в шар куб касается шара в центре каждой из своих граней. Диагональ куба равна диаметру шара, то есть ( 2R ). Пусть ( a ) — сторона куба. Тогда диагональ куба ( a\sqrt{3} ) равна диаметру шара:
[ a\sqrt{3} = 2R \implies a = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}. ]
Площадь поверхности куба равна сумме площадей всех его шести граней: [ S = 6a^2 = 6 \left(\frac{2R\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 6 \times \frac{4R^2 \times 3}{9} = 8R^2. ]
Таким образом, площадь поверхности куба, вписанного в шар, равна ( 8R^2 ).
1) Цилиндр - это геометрическое тело, образованное двумя параллельными кругами основания и боковой поверхностью, состоящей из прямоугольников. Формула для площади полной поверхности цилиндра: S = 2πr(h + r), где r - радиус основания, h - высота цилиндра. 2) Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60о, равна S = πr^2, где r - радиус основания конуса. 3) Площадь поверхности вписанного в шар куба равна S = 6R^2.
