1)Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=-3x^2 y=0 x=1 x=2 2)Найдите дифференциал функции y=-3x^2...

Конечно, давайте рассмотрим каждый из указанных вопросов по порядку:

1) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = -3x^2 ), ( y = 0 ), ( x = 1 ), ( x = 2 ):

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций и вертикальными линиями, нужно интегрировать функцию ( y = -3x^2 ) от ( x = 1 ) до ( x = 2 ). Поскольку ( y = 0 ) представляет ось x, функция ( y = -3x^2 ) будет ниже оси, и значение интеграла будет отрицательным, что соответствует площади, лежащей под осью x.

[ A = \int_{1}^{2} -3x^2 \, dx ]

Найдем неопределенный интеграл:

[ \int -3x^2 \, dx = -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3 ]

Теперь подставим пределы интегрирования:

[ A = \left[-x^3\right]_{1}^{2} = -(2^3) + (1^3) = -8 + 1 = -7 ]

Площадь фигуры равна 7 (так как площадь - это всегда положительное значение).

2) Найдите дифференциал функции ( y = -3x^2 + 2x^2 - 1 ) в точке ( x_0 = 2 ):

Сначала упростим функцию:

[ y = -3x^2 + 2x^2 - 1 = -x^2 - 1 ]

Найдем производную функции:

[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(-x^2 - 1) = -2x ]

Дифференциал ( dy ) можно выразить как:

[ dy = \frac{dy}{dx} \cdot dx = -2x \cdot dx ]

В точке ( x_0 = 2 ):

[ dy = -2 \cdot 2 \cdot dx = -4 \, dx ]

Таким образом, дифференциал функции в точке ( x_0 = 2 ) равен ( -4 \, dx ).

3) Решите уравнение ( \sin 2x + 2\sin^2 x = 0 ):

Используем тождество для двойного угла: ( \sin 2x = 2 \sin x \cos x ). Подставим это в уравнение:

[ 2 \sin x \cos x + 2 \sin^2 x = 0 ]

Вынесем ( 2 \sin x ) за скобки:

[ 2 \sin x (\cos x + \sin x) = 0 ]

Это уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. ( 2 \sin x = 0 ) (\Rightarrow \sin x = 0)

   (\sin x = 0) когда ( x = n\pi ), где ( n ) — целое число.

2. ( \cos x + \sin x = 0 ) (\Rightarrow \cos x = -\sin x)

   Разделим обе стороны на (\cos x):

   [ 1 = -\tan x \Rightarrow \tan x = -1 ]

   (\tan x = -1) при ( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi ), где ( k ) — целое число.

Итак, общее решение уравнения:

[ x = n\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + k\pi ]

где ( n ) и ( k ) — целые числа.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y = -3x^2, y = 0, x = 1 и x = 2, необходимо найти точки пересечения этих графиков.

Подставим y = 0 в уравнение y = -3x^2 и найдем x:
0 = -3x^2
x = 0

Таким образом, точки пересечения графиков y = -3x^2 и y = 0 - это точка (0, 0). 
Теперь найдем точки пересечения графиков x = 1 и x = 2 с графиком y = -3x^2:
y = -3*1^2 = -3
y = -3*2^2 = -12

Получаем точки (1, -3) и (2, -12). 
Теперь построим график и найдем площадь фигуры, ограниченной этими линиями, используя метод интегрирования.

2) Для нахождения дифференциала функции y = -3x^2 + 2x^2 - 1 в точке x0 = 2, нужно сначала найти производную функции и затем подставить значение x0 = 2 в полученное выражение.

y' = d(-3x^2)/dx + d(2x^2)/dx - d(1)/dx
y' = -6x + 4x
y' = -2x

Теперь найдем значение производной в точке x = 2:
y'(2) = -2*2 = -4

Таким образом, дифференциал функции y = -3x^2 + 2x^2 - 1 в точке x0 = 2 равен -4.

3) Для решения уравнения sin(2x) + 2sin^2(x) = 0, используем формулу двойного угла для синуса и свойства тригонометрических функций.

sin(2x) = 2sin(x)cos(x), поэтому уравнение преобразуется в:
2sin(x)cos(x) + 2sin^2(x) = 0
2sin(x)(cos(x) + sin(x)) = 0

Решение этого уравнения сводится к нахождению корней для sin(x) = 0 и cos(x) + sin(x) = 0. 
Для sin(x) = 0 решением будет x = 0, Pi, 2Pi, . 
Для cos(x) + sin(x) = 0, используем тригонометрическую формулу суммы:
cos(x) + sin(x) = sqrt(2) * sin(x + Pi/4) = 0
sin(x + Pi/4) = 0
x + Pi/4 = k*Pi, где k - целое число
x = k*Pi - Pi/4

Таким образом, решениями уравнения sin(2x) + 2sin^2(x) = 0 будут x = 0, Pi, 2Pi. и x = k*Pi - Pi/4.