1)Доказать, что функция F(x) = 3x+sinx-e^2x является первообразной функции f(x) = 3+cosx-2e^2x на всей...

Давайте решим каждое из заданий по порядку.

Задание 1

Нужно доказать, что функция ( F(x) = 3x + \sin x - e^{2x} ) является первообразной функции ( f(x) = 3 + \cos x - 2e^{2x} ) на всей числовой прямой.

Решение:

Чтобы доказать, что ( F(x) ) является первообразной ( f(x) ), нужно показать, что производная ( F(x) ) равна ( f(x) ). Найдем производную ( F(x) ):

[ F'(x) = (3x)' + (\sin x)' - (e^{2x})' ] [ F'(x) = 3 + \cos x - 2e^{2x} ]

Так как ( F'(x) = f(x) ), это подтверждает, что ( F(x) ) действительно является первообразной ( f(x) ) на всей числовой прямой.

Задание 2

Найти первообразную ( F ) функции ( f(x) = 2\sqrt{x} ), график которой проходит через точку ( A(0, \frac{7}{8}) ).

Решение:

Первообразная функции ( f(x) = 2\sqrt{x} ) находится интегрированием: [ F(x) = \int 2\sqrt{x} \, dx = 2 \int x^{1/2} \, dx = 2 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} + C = \frac{4}{3}x^{3/2} + C ]

Теперь используем точку ( A(0, \frac{7}{8}) ) для нахождения ( C ): [ F(0) = \frac{4}{3}(0)^{3/2} + C = \frac{7}{8} ] [ C = \frac{7}{8} ]

Итак, первообразная: [ F(x) = \frac{4}{3}x^{3/2} + \frac{7}{8} ]

Задание 3

Найти площадь фигуры, ограниченной прямой ( y = 1 - 2x ) и графиком функции ( y = x^2 - 5x - 3 ).

Решение:

Сначала найдем точки пересечения: [ x^2 - 5x - 3 = 1 - 2x ] [ x^2 - 3x - 4 = 0 ] Решаем квадратное уравнение: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} ] [ x_1 = 4, \quad x_2 = -1 ]

Интегрируем разность функций на интервале от (-1) до (4): [ \text{Площадь} = \int{-1}^{4} [(1 - 2x) - (x^2 - 5x - 3)] \, dx ] [ = \int{-1}^{4} [-x^2 + 7x + 4] \, dx ] Вычисляем интеграл: [ = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2} + 4x\right]_{-1}^{4} ] [ = \left(-\frac{64}{3} + 56 + 16\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{7}{2} - 4\right) ] [ = \left(-\frac{64}{3} + 72\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{15}{2}\right) ] [ = -\frac{64}{3} + 72 + \frac{1}{3} - \frac{15}{2} = \frac{-63 + 216 + 1 - 45}{6} = \frac{107}{6} ]

Таким образом, площадь фигуры составляет (\frac{107}{6}) квадратных единиц.

1) Для доказательства того, что функция F(x) = 3x+sinx-e^2x является первообразной функции f(x) = 3+cosx-2e^2x, нам нужно показать, что производная функции F(x) равна функции f(x) на всей числовой прямой. Вычислим производную функции F(x): F'(x) = 3 + cosx - 2e^2x Теперь сравним производную функции F(x) с функцией f(x): f(x) = 3 + cosx - 2e^2x Таким образом, мы видим, что производная функции F(x) равна функции f(x), что и означает, что F(x) является первообразной функции f(x) на всей числовой прямой.

2) Для нахождения первообразной F функции f(x) = 2√x, проходящей через точку A(0;7/8), сначала найдем общий вид функции F(x): F(x) = ∫2√x dx = 2 ∫√x dx = 2 (2/3)x^(3/2) + C, где C - произвольная постоянная. Теперь найдем значение постоянной С, подставив точку A(0;7/8) в выражение для F(x): F(0) = (2/3)*0^(3/2) + C = C = 7/8 Итак, первообразная функции f(x) = 2√x, проходящая через точку A(0;7/8), имеет вид: F(x) = (4/3)x^(3/2) + 7/8

3) Для нахождения площади фигуры, ограниченной прямой y=1-2x и графиком функции y=x^2-5x-3, найдем точки их пересечения: 1-2x = x^2-5x-3 x^2-3x-4 = 0 (x-4)(x+1) = 0 x = 4, x = -1 Теперь найдем значения функций в этих точках: y(4) = 4^2-54-3 = 16-20-3 = -7 y(-1) = (-1)^2-5(-1)-3 = 1+5-3 = 3 Таким образом, точки пересечения графиков функций: (4;-7) и (-1;3). Площадь фигуры между прямой и графиком функции можно найти как разность интегралов данных функций на отрезке [-1;4]: S = ∫[4;-1] (1-2x - (x^2-5x-3)) dx S = ∫[4;-1] (-x^2+3x+4) dx S = -(1/3)x^3 + (3/2)x^2 + 4x |[-1;4] S = -64/3 + 48/2 + 16 - ((1/3) - (3/2) - 4) S = -64/3 + 24 + 16 - (1/3 - 3/2 - 4) S = -64/3 + 24 + 16 - (2/6 - 9/6 - 24/6) S = -64/3 + 40 - (-31/6) S = -64/3 + 40 + 31/6 S = -128/6 + 240/6 + 31/6 S = 143/6 Итак, площадь фигуры, ограниченной прямой y=1-2x и графиком функции y=x^2-5x-3, равна 143/6.