15 учеников обменялись фотографиями таким образом, что все обменялись друг с другом. Сколько было роздано...

Для того чтобы каждый ученик обменялся фотографиями с каждым из остальных учеников, нужно роздать 105 фотографий (15 учеников * 14 учеников = 210 пар фотографий, но каждая пара фотографий учитывается дважды, поэтому делим пополам).

Для решения этой задачи нужно использовать формулу для нахождения количества комбинаций при обмене между собой 15 учениками. Формула для нахождения количества комбинаций при обмене между n участниками выглядит следующим образом: Cn = n! / ((n-2)! * 2!). Где n! - это факториал числа n, а (n-2)! и 2! - факториалы чисел n-2 и 2 соответственно.

В данном случае у нас 15 учеников, поэтому подставляем n = 15 в формулу: C15 = 15! / ((15-2)! 2!) = 15! / 13! 2! = 15 * 14 / 2 = 105.

Таким образом, было раздано 105 фотографий.

Чтобы решить задачу о количестве фотографий, которыми обменялись ученики, можно использовать понятие неориентированного графа. В данном случае каждый ученик представляет собой вершину графа, а каждая пара обменявшихся фотографиями учеников — ребро.

Задача сводится к нахождению полного графа с 15 вершинами, где каждая вершина соединена ребром с каждой другой вершиной. Количество ребер в полном графе с ( n ) вершинами определяется формулой:

[ C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2} ]

где ( C(n, 2) ) — это число сочетаний из ( n ) по 2, то есть количество способов выбрать 2 элемента из ( n ).

Для 15 учеников (вершин) формула принимает вид:

[ C(15, 2) = \frac{15 \times 14}{2} = \frac{210}{2} = 105 ]

Таким образом, всего было роздано 105 фотографий, так как каждый ученик обменялся фотографиями с каждым другим учеником.